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 est naturel de se demander si, à tout système de solutions des crjualions de 

 M. Pappei-itz, correspond en général une intégrale algéljrique de l'équation 

 de Kumraer, comme cela a lieu dans le cas des transformations ration- 

 nelles. On démontre aisément qu'il n'en est pas ainsi, au moyen des consi- 

 dérations suivantes. 



» Pour fixer les idées, jirenons le cas oh ")., a,v, V, a',v' sont des parties 

 aliquotcs de l'unité 



I I I ^, I ,1,1 



' s " l' " ' 



et snpj)Osons que l'équation 



I 



dy" 3 dy- f 1 —),-•+ ( 'a- 4- V- — [j.= — I j .e 



(0 



dx 2 i djc i 2 x- ( I — .r )- 



dy ' dy 1 



_ I — ).'--f- ().'-+•/-— ja'-— i)y ^-(I — •/'-))'' 



— 2j-2(i_j)2 



v^).t-^ /^V 



admette pour intégrale une fonction algébrique déllnie j'ar l'cquation irré- 

 ductible 



de degrés ri et n par ra])port k x ety respectivement, et de genre p. 



» Soient X et Y les deux surfaces de Ricmann correspondant à cette rela- 

 tion ; \, par exemple, est une surface connexe, formée de n feuillets étendus 

 sur le plan des a-. L'étude de l'équation (i) conduit aux résultats suivants. 

 Les seuls points de ramification de X sont aux points a' = o, i , 2C ; si, pour 

 a; = G, j prend une valeur /^ dilîérente de o, i , ao , on aura : feuillets de X 

 réunis en cycle autour du point x = o, correspondant au point analytique 

 (x = o, V = b). Au contraire, si, pour x = o, y prend l'une des valeurs 

 o, I, oc , la valeur o, par exemple, on aura 8 feuillets de X réunis en cycle 

 autour du point x = o, correspondant au point analytique (x = o, j = o), 

 S étant un diviseur de p. Cela posé, soient r le nombre des racines distinctes 

 de l'équation /(o, y)= o qui sont différentes de o, i, x , et a le nombre 

 de ces racines qui ont une des valeurs o, i , oc , chacune étant comptée avec 

 son degré de multiplicité. Les lettres b,c,s, t avant des significations ana- 

 iogues, on a nnmédialemeut les équations 



('^) n — a ^ rù = b + so = c -\- t-'; . 



