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 l'iétude de la surface Y donne de rnême 



(/i ) n' = «' + f p' = 6' + y ^' = c' + t'-'. 



M Eiifia, soit /y le nombre des cycles de feuillets des deux surfaces qui 

 coH'Pspoadent à des points analytiques où chacune des variables a l'une 

 des Videurs o, i , oo; je dirai, pour abréger, que ces cycles sont de la seconde 

 catégorie. La formule de Riemann qui donne le genre d'une relation algé- 

 brique devient ici 



-■'.! 



(5) y.p -[- q ~ 2. ^ n — r — s — t ■= n' — r' — s' — t! . 



H iVux équations (3), (4), ( J>)il est facile d'ajouter d'autres équationSi- 

 qu'il est inutile de rapporter ici. 



» Inversement, supposons que nous avons un système de solutions des 

 équations précédentes. IjCs surfaces de Riemann \ et Y ne pourront être 

 construites que d'un womhre Jini de manières. Choisissons une surface X 

 particulière, satisfaisant aux conditions du problème et la surface Y corres- 

 pondante. Nous avons d'abord à rechercher s'il existe une relation algé- 

 brique /(a;, j)= o, telle que les surfaces de Riemann correspondantes 

 soient précisément X et Y. Soient u une fonction algébrique de x, ramifiée 

 comme y, et v une fonction algébrique de y ramifiée comme x, de telle 

 sorte que l'on ait 



(6) H = "j(x,y), y = ?/.-»% u), (' = A(',r, x), X — ']/,(.>', v), 



cp, '^1, A, 'i, désignant des fonctions rationnelles; u sera racine d'une 

 équation algébrique entière de degré n en v 



(7) \-{x,u), 



dont la surface de Riemann sur le plan des x est précisément X. De même, 

 (' sera racine d'une équation algébricpie entière de degré n' en v 



(.S) F,(7, c) = o, 



dont la surface de Riemann sur le plan des y sera Y. Les deux équations 

 (7) et (8) devront appartenir à la même classe que l'équation (2) et, par 

 suite, avoir les mêmes modules. Il est évident que ces modules ne dépen- 

 dent respectivement que des surfaces X et Y, et si le genre j5 n'est pas égal 

 à zéro, ils seront différents en général, comme on peut s'en convaincre par 

 des exemples. Si ces modules sont égaux, on pourra passer de la relation 



