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 (n) à la rclalion (8) par une transformation bîrationnelle, dont les coeffi- 

 cients pourront dépendre, dans certains cas, d'un ou plusieurs paramètres 

 arbitraires. Mais cette transformation devra être telle que les sommets des 

 q fcycles de la seconde catégorie de X viennent s'appliquer respective- 

 m'èVit sur les sommets des q cycles de la seconde catégorie de Y. Finale- 

 ment, pour qu'il existe une relation algébrique /(ic, j) = o, satisfaisant 

 aux; conditions du problème, on trouve, dans tous les cas, que 3/j + y — 3 

 conditions complexes doivent être remplies. U'où résulte la proposition 

 énoncée plus haut, qui se démontre de même dans le cas général. On dé- 

 montre aisément que le nombre 3/J + ^ — 3 ne peut être nul que si l'on a 

 ^=r o, <jr = 3. C'est ce qui a lieu pour les intégrales ratiounelles; les autres 

 intéorales algébriques qui satisfont à ces conditions s'obtiennent par des 

 combinaisons d'intégrales rationnelles. 



» Dans un Mémoire qui paraîtra prochainement, je me suis proposé de 

 montrer comment on peut toujours, par un nombrey/«f d'essais et de cal- 

 culs toujours possibles, reconnaître si une solution des équations de 

 M. Papperitz fournit une intégrale algébrique de l'équation de Kummer. » 



GÉOMÉTRIE. — . Démonstration analytique d'un théorème relatif aux sur- 

 faces orthogonales. Note de M. Paii. Adam, présentée par M. ^laurice 

 Lévy. 



,.,« M. Maurice Lévy a, le premier, énoncé le théorème suiAant, dont il 

 a fait le point de départ de l'une de ses deii?; thèses pour le doctorat es! 

 sciences : Pour qu une famille de surfaces puisse faire partie d'un système 

 orthogonal, il est nécessaire que sa ligne ombilicale soit une trajectoire ortho- 

 gonale des surfaces qui la composent. Sa démonstration, extrêmement simple, 

 est basée sur des considérations purement géométriques. 



» Dans cette Note, nous nous proposons de démontrer le même théo- 

 rème par le calcul, ce qui n'a pas encore été fait, du moins à notre con- 

 naissance. 



■ '» Soit (C) la ligne ombilicale d'une famille de surfaces 



(i) u=u{x,y,z) 



au paramètre u. susceptible défaire partie d'un système triplement ortho- 

 gonal, et soit O un point quelconque sur cette ligne. 



» Prenons le point O comme origine de trois axes de coordonnées rec- 



