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 tangiilaires. poiii- iixc des :; la normale à colle ( S j des siii-faees considérées 

 (jui passe en O, pour axe des x et des y, deux droites rectangulaires cpiel- 

 eonques situées dans le plan tangcnl en O à la snrface (S). 



» Il s'agit de démontrer cjuc l'axe O^ est tangent en O à la ligne (C). 



» A cet effet, nous désignerons par le symbole ( )(, les résultats rela- 

 tifs au point O. 



» Puisque le point O est un ombilic de la surface (S), Ox et O)' sont les 

 tangentes à deux lignes de courbure de cette surface ; on sait qu'alors on a 



en adoptant les notations emplo\ées par M. Darboux tlans son grand INIé- 

 moire sur les coordonnées ciu'\ iligiies et les systèmes oi'thogonaux ( ' ). 



» J)'autre part, si l'on a]>pelle/j, q, r, s, l les dérivées partielles de la 

 fonction : de .r et àe y définj'e par l'écpiation (i) quand on \ regarde le 

 paramètre 11 connue constant, les équations de la ligne omliilicale (( 1 ) se- 

 ront é^ idennnent 



( (i +/r)s —p(ir= o, 



c\) . : 



[ {i + q- )s — pqi = o. 



» Exprimons les déri\ées />, q, r, s, / de la tond ion : an moxen d(\s dé- 

 rivées pai'l ielles de la tonclion «fa-, r, r ); il vient, en différeiiliani l'éipia- 



tion (1), 



M, -!-/'«;) = o, 



a,,, -I- 2/w, ., + //-«.,., -f- rit., = o, 



"ij + y"i,:i + /'"-, 1 -^ p(/Ui,t -t- su. = o, 



//o,o + '-îyw-, ., + 7"";,.i -+- fti,, = o, 



(i ou 



II., 

 q — -, 



" : 



II 



"3 "1,2 — "2 ":l"l,:i — "1 ":) "-3,3 + "l "2 " ■. 



/ 



iil «.,,, — a^/jZ/jH,,., + «; «3,3 



(') Annales de l'École I\'ormale supérieure ; 187S. 



C. lî.. iS^ifi, -' Semestre. (T. CUI, N" 2!.) 1 '5 I 



