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GÉOMÉTRIE. — Sur l'octaèdre et la construction de ta droite associée. 

 Note de M. P. Sekret. 



« I. On établit aisément que la droite associée de l'octaèdre i234jt> 

 |)eut se déterminer d'abord en direction, et qu'elle est parallèle à la hauteur 

 du trièdre, dont les arêtes sont dirigées vers les trois points à l'infini de 

 la cubique gauche, circonscrite à l'octaèdre donné. Soient 



xyz = G 



les équations tangenticlles des traces de cette cubique sur le plan de l'in- 

 fini, et 



les équations analogues des sommets de l'octaèdre. 



)) Comme huit points d'une cubic[ue gauche font toujours huit points as- 

 sociés, liés entre eux par la relation analytique (jue l'on sait, on a, notam- 

 ment ici, les deux identités suiAantes 



l\lt p\ -(- {ax- -\- by^ + cz^)-:;^o, 



^P^^p; -f-(a.r-+ [i7--l-Ys\)5Eso, 



lesquelles entraînent la conclusion que le trièdre ci-dessus (o,xy:-), dont 

 la hauteur QHl parallèle à la droite cherchée, n'est autre que le iriédre con- 

 jugué commun à deur cônes déterminés, de sommet commun et arbitraire o, 

 respectivement conjugués aax deux angles solides pentaèdres, ayant pour 

 arêtes successives les parallèles menées par le point o aux côtés sucessits 

 de chacun des pentagones gauches i 2 3 4 ) et 2 3 4 t (J. 



M La recherche de la direction de la droite associée d'un octaèdre est 

 donc ramenée au problème suivant 



» II. Etant donnés deux cônes du second ordre, de sommet commun o, 

 construire la hauteur du trièdre conjugué i-n'C = o commun à ces deux 

 cônes. 



» Ce problème, assez compliqué comme l'on voit, et oîi une direction 

 inconnue dépend des directions de deux groupes donnés de cinq droites, et 

 en tout de dix directions données, se peut construire de plusieurs manières 

 différentes par la seule Géométrie, et il arrive d'ailleurs que les données 

 spéciales qui définissent ici les deux cônes, savoir la donnée des deux 



