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expriment tous des rapports de grandeur ou de situation entre les éléments 

 de ces figures : tel est le double problème que j'étudie depuis bientôt 

 trente ans et dont j'ai l'bonneur de soumettre à l'Académie une solution 

 rationnelle et complète. 



» Ma première Communication à ce sujet est mentionnée aux Comptes 

 rendus dn 17 juin i865. 



» Dans la Réforme Cartésienne, publiée en 18760, je me suis surtout 

 occupé des principes fondamentaux de l'Algèbre, sans donner à ceux de la 

 Géométrie supérieure l'extension désirable. J'essaye aujourd'hui de combler 

 cette lacune. 



» Les figures de Géométrie peuvent être étudiées sous trois points de 

 vue différents, selon qu'il s'agit de leur forme, de leur expression numé- 

 rique ou de leur comparaison soit à la droite, soit au plan. De là pour elles 

 trois sortes de propriétés, les unes descriptives, d'autres métriques, les 

 troisièmes segmentaires : celles-ci formant la transition des premières aux 

 secondes. 



» IjCs propriétés descriptives des figures tendent à les isoler les unes 

 des autres. Au contraire, leurs propriétés segmentaires ou métriques con- 

 duisent d'abord à les regarder indifféremment comme réelles ou imagi- 

 naires, puis à les grouper ensemble d'après leurs affinités, pour en former 

 des lieux géométriques vraiment généraux. 



» On atteint facilement ce but en ne voyant, dans le système de deux 

 points ordinaires, appelés composantes, qu'un point unique, réel quand ces 

 composantes sont superposées, imaginaire quand elles sont séparées l'une 

 de l'autre. 



» Ces deux manières d'être du point, ou modes contraires, s'étendent 

 ensuite à toutes les figures géométriques, à commencer par les segments 

 rectilignes. 



)) Ceux-ci peuvent être rectangles droits ou radiés. 



» Le segment rectangle isoscèle a toujours le sens de la première de ses 

 composantes : il est de plus réel ou imaginaire, selon que ces composantes 

 sont entre elles de même sens ou de sens contraires; et ses changements 

 successifs de sens et de mode suivent une loi régulière. 



» Les segments rectangles groupés dans un plan autour d'un même 

 point se répartissent en une infinité de systèmes rectangles, pouvant être 

 subordonnés à l'un quelconque d'entre eux choisi pour premier système. 



(') Paris, Gauthier-Villars. 



