(II.5) 

 sion (i) 



La fonction '\i est arbitraire. 



Dans le cas où l'cqualion de la courbe (C) est de la forme 



r-'"'-^ = 2Â--"''-P s'mmH cos"''-'''mH, 



m etp désignant des nombres positifs quelconques, on trouve, pour expres- 

 sion générale du potentiel résolvant le problème II, 



cos-i'm(i. 



cos''w6 



I 



» On a ainsi, notamment, la solution complète de ce problème pour les 

 courbes définies par l'équation 



obtenue en supposant m = - = - ■ Ces courbes, bien connues, possèdent 



des propriétés remarqual^les, et ont été étudiées, à différents points de 

 vue, par un grand nom])re de géomètres, parmi lesquels il convient de 

 citer Maclaurin, Euler, L'Hôpital, Fagnano, Riccati, Lamé, Serret, 

 MM. O. Bonnet, Halphen, Haton de la Goupillière, W. Roberts ('). 



» En particulier, pour n = 2, on a une lemniscate de Bernoulli ayant 

 son centre en O. Dans ce cas; en attribuant à la fonction arbitraire ^(m) 

 la forme aw + ^M^, on trouve, comme répondant aux conditions du pro- 

 blème II, une force centrale proportionnelle à la distance, qui devient une 

 force constante en grandeur et direction, lorsque p est nul. On arrive ainsi 

 à une belle propriété de la lemniscate due, pour le cas de la force con- 

 stante, à Saladini (^), pour le cas de la force centrale proportionnelle à la 

 distance, à M. O. Bonnet ('). 



)) Il est remarquable que, si l'on excepte ces deux derniers cas, le pro- 



(') Ou trouve sur ce sujet une intéressante Notice de M. Haton de la Goupillière, 

 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 1" série, t. XV, p. 97. 



M. Humbert, dans un travail encore inédit, a également rencontré des propriétés 

 nouvelles de ces mêmes courbes. 



(-) Memorie deW Istitulo nazionale Italiano, t. 1, p. 2. 



(^) Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. IX, p. n6. 



