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K^) dX ~ dY dZ R 



de la surface (S); et voyons se vérifier que le point correspondant 

 m(.v. Y, z) de l'autre surface (s) décrit de même une ligne de courbure de 

 celle-ci. 



» Remplaçant, à cet effet, dans la formule (3), les différentielles par 

 leurs valeurs tirées des formules (i') et (2'), il vient d'abord 



, ,, , I |j. f).r -h .2- ôii- — Oc ;j- dy -t- r Ô[j- — t)h [j- <)-■ -h :■ d[>- — de 



^^ ^ R ~ Idx-h^dl "~ Idy-^ydl '~ ïdz + z dl 



» De là, ensuite, en composant (par addition des numérateurs et addi- 

 tion des dénominateurs) les trois rapports multipliés respectivement, haut 

 et bas, par a, b, c; et ayant égard aux identités de définition, 



a àfi ~ I/àf) -h c àc =^ o, a dx -i- b dy -+- c Oz =■ o, 



il vient, en second lieu, 



I |j. d-v -}- X d[j. — da [j: dy -4- y d[i. — dh ixdz -h s d\>- — de 



îî ~ X (Ir + X ()1 "~ 1 dy + y dl ~" ïdT-^'Tôr ' 



(ï)- (?)■ (•■-)• 



(3") 



' <);j. Sn.r (1[j. x diJ- >' l);-"- s Ô'j. 



~" ()/. Srt.r ~' TÏÏ ~ jj dl ~ y àl " -- àl ' 



* (=>'). {?')• <-.'')• 



OU encore, et en composant (par soustraction des numérateurs et sous- 

 traction des dénominateurs) les rapports (7.) et («'), (p) et (P'). (y) 



et (y), 



/■im\ l'àj' — (la [j.dy — db \i.d:- — de 



^^ " ~ îlïr ~ ~~rdy~~ ~ Idz 



c'est-à-dire enfin 



ce qui démontre le théorème. 



n II existe une démonstration géométrique, décalquée en quelque ma- 

 nière de la précédente, et où la vérification se réduit à l'égalité sinussique, 

 qui exprime la propriété des transversales sur la sj)hère. » 



