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Mais cela résulte déjà de la continuité de /(x) et de la supposition rela- 

 tive h/'(x) et ne constitue donc pas une propriété nouvelle, spéciale aux 



fonctions qui sont représentées par une série ^^ a„a;". » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions abéliennes. 

 Note de M. Appell, présentée par M. Hermite. 



« Dans une Lettre à M. Hermite (' ), Jacobi démontre que les fonctions 

 de deux variables à quatre paires de périodes qui résultent de l'inversion 

 des intégrales ultra-elliptiques sont des fonctions algébriques de fonctions 

 d'une variable. Depuis, il n'a été fait, à ma connaissance, aucune recherche 

 sur le mécanisme par lequel se manifeste, dans ce mode d'expression, la 

 quadruple périodicité des fonctions ultra-elliptiques. Voici sur ce sujet 

 quelques remarques qui s'étendent aisément aux fonctions abéliennes d'un 

 nombre quelconque de variables. 



M D'après M. Weierstrass {Journal de Crelle, t. 89, p. i), toute fonction 

 méromorphe de deux variables u et v k quatre paires de périodes peut 

 s'exprimer rationnellement à l'aide de trois fonctions de même nature 



liées par une équation algébrique irréductible. En particulier, les trois 

 fonctions 



f(u-\-u',<,>-\-i''), f{u-\-u',V-{-v'), f{u-\-u',V->rV') 



sont des fonctions rationnelles des fonctionsy] ,f,fi aux arguments u, v et 

 u', v' . Nous pouvons donc écrire, en désignant par R,(^i, t.,, t^; t\, t.,, t.^) 

 une fonction rationnelle de ;,, t.,, t.^, t' , /.,, t' , 



(0 



j f{u -4- u' , i> -+- i'') 



\ = ^i[/>{"' ^')'Â{u, v),f{u, v);f,{u', v'),f.,{u', v'),f,{u', i>')\. 



ou 



i= i, 2, 3. 



{'■) Journal dt; IJal/icmatiqites. l. VIII. 



