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 » Dans ces formules ( \), faisons 



u = œ, (' ^ o, u'^o, v' ^ y, 



et désignons, pour abréger, par X,, X,, X3 les trois fonctions /,(x. o), 

 /2(ir, o),f^{.x, o) qui dépendent de x seulement, et par Y,, Y», Y, les trois 

 fonctionsy,(o, j),y'o(o, y ),/,(o, j) qui dépendent de y seulement. Nous 

 aurons 



l /. (^, 7.) = R, (X, , X„ X., ; Y. , Y„ Y,). 



(2) Â(^,y) = R.(X,, X,. X,; Y,, Y„ Y,), 

 ( Âi^-y) = R3(X,. X„ X,; Y., Y,, Y3): 



les trois fonctions /,,yo.y^ sont ainsi exprimées en fonction rationnelle 

 de six fonctions d'une seule variable. 



» Voyons maintenant comment peut se manifester la quadruple pério- 

 dicité de ces fonctions. Pour cela, désignons par x, [i un groupe de périodes 

 et voyons ce que deviennent les fonctions X,, Xj, X3 quand on y remplace 

 a: par a: + a, et les fonctions Y,, YjjY^ quand on y remplace y par ^4- p. Si 

 nous faisons, dans les formules (i), 



u = ce, u = a, i> = o, v' = o, 



elles donnent 



/(o; + a, 0) = R,[X,, Xj.Xj ;/,(x, o)./,(a, o),/,(a, o )| 



ou plus simplement, puisque /, (a, o),_/2('''^' o)'y3(^' o) sont des con- 

 stantes, 



(3) fi{.x-^y.,o)=Oi{X,,X.,,X3), (j = i,2, 3), 



ç, désignant une fonction rationnelle de X,, Xo, X3. 

 » On a de même 



(A) /(o, y+p)=.i,(Y,,Y„Y3), (i= 1,2,3). 



» Ainsi les fonctions X,, Xo, X3 de a; deviennent égales à des expressions 

 rationnelles en X,, X„, X3 quand on y remplacer; par œ-\-v.; de même, , 

 les fonctions Y,, Y',, Y'3 deviennent égales à des expressions rationnelles 

 en Y,, Yo, Y3 quand on y remplace y par y -\- <^. Cela posé, si, dans les 

 formules (2), on change x en x -h a. cl y en y + <^, on trouve pour 

 /J (a; + a, j + p) la valeur 



R,-|9.(X,, X„X3). o,,?,; J.,(Y,, Y,. Y3), '}„ J.,]. 



