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 » I.e nombre N, des racines positives de l'équation algébrique 



o = x" -, ^, a" -\ i -, ^ f-^ ^ .r" - — ..., 



2n(« — j) I.2.2rt(2« — I)(rt — iJl^ — 4) 



OÙ a + p = — n =: un nombre entier négatif, est égal au plus petit des 

 nombres o, i , 2, 3, ... qui doit ajouter au plus grand des nombres 2a et 

 2jî pour avoir un nombre positif. Toutes ces racines sont plus petites que 

 l'unité. 



» Quant au nombre N^ des racines négatives de la même équation, il 



est égal à 



I — (—1)^.+" 



2 

 )) Par exemple, dans le cas où n 1= 9, 7. = —et^-= ^. nous avons 



N, = 7 et N, = o. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les reseaux plans à invariants égaux et les lignes asym- 

 ptotiques. Note de M. G. Kœnigs, pré.sentée par M. Darboux. 



« Dans une Note du 28 décembre 1891, j'ai introduit la notion de ré- 

 seaux à invariants égaux. Si x, y, :■ sont les coordonnées homogènes d'un 

 point du plan, et u, c les paramètres des deux familles de courbes du réseau, 

 on peut définir complètement les coefficients a, h, c de l'équation 



(E) -j — p +a— -!- />-- + rO = o, 



^ -^ au ov ou ()v 



par la condition que x, y, z en soient trois solutions. Les invariants de (E) 

 seront des invariants du réseau; leur égalité se traduit par l'équation 



âa _ âb 

 au ()i' 



» Considérons un point M et les courbes A (r = const.), B(u ;= const.) 

 c{ui se croisent en M. Menons les tangentes MP à la courbe A et MQ à la 

 courbe B. Lorsque M décrit la courbe B, la droite MP enveloppe une 

 courbe B^ et touche cette courbe en un point P dont les coordonnées ont 

 l'expression suivante 



dx j ày , f)z , 



ou Ou •■ Ou 



