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en sorte que ces courbes B, fournissent une interprétation delà transfor- 

 mation de Laplace. Pareillement, lorsqueM décritla courbe A, la droite MQ 

 enveloppe une courbe A, qui fournit une interprétation de l'autre trans- 

 formation de Laplace 



6' = ? + «0. 

 or 



)) Ceci posé, l'égalité des invariants do l'équation (E) se traduit géomé- 

 triquement par le théorème suivant : 



» Pour que les invaiiants de l'équation (E) soient égaux, il/aut et il suffît 

 qtiil existe une conique H ayant un contact du second ordre avec la courbe A, 

 au point Q et avec la courbe B, au point P. 



» On peut encore dire que, si l'on prend trois positions consécutives 

 A, A', A" de MP pour lesquelles le point M occupe trois positions consécu- 

 tives M, M', M" sur B, puis trois positions consécutives Ao, A,, Ao de MQ 

 pour lesquelles le point M occupe trois positions consécutives M, M,, M^ 

 sur A, les six droites A, A', A", Ao, A,, Ao touchent une même conique Î2. 

 Cette propriété géométrique est donc spécifique pour les réseaux plans à 

 invariants égaux. 



» Maintenant, je rappellerai le théorème suivant dû à M. Sophus Lie : 

 Soit M un point d'une surface, A et B les asymptotiques qui se croisent en 

 ce point, MP la tangente à A en M, MQ la tangente à B. Lorsque M décrit 

 l'asymptotique B, la droite MP engendre une surface réglée 2b, et, lorsque 

 M décrit A, la droite MQ engendre une surface réglée 2^. 



)) L'hyperholoïde osculàteur de 'Lf^le long de la droite MQ coïncide avec 

 V hyoerboloide osculateur de "L^ le long de MP. 



)) Faisons alors d'un point O la perspective des asymptotiques sur un 

 plan quelconque; je désigne par A la perspective de l'asymptotique A, par 

 M celle du point M, etc.; appelons il la conique qui est le contour 

 apparent projeté de l'iiyperboloïde osculateur II ; puisque trois positions 

 consécutives de MQ sont des génératrices de H, lorsque M décrit A, et 

 trois positions consécutives de MP des génératrices du second système 

 de II, lorsque M décrit B, on voit que, en projection, trois positions con- 

 sécutives de MQ lorsque M décrit A et trois positions consécutives de MP 

 lorsque M décrit B seront six tangentes de la conique Q.. 



)) On peut donc énoncer ce théorème, que j'ai énoncé il y a trois ans à 

 la Société mathématique de France, dans sa séance du 9 janvier 1889, et 



