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 Mais d'abord j'observe que, si l'on pose 



V"« = ! — ««. 



le produit «a„ doit croître au delà de toute limite, bien que le facteur a,, 

 soit infiniment petit. En effet, d'après l'égalité précédente, 



r -1""" 



«„ = (i-a„)''=|(i-a,)'-'"J 



» Mais (i — '■J-nY" '* poui' limite -• Si donc «a„ tendait vers une limite A', 



finie ou nulle, t/„ tendrait vers une limite e"'^ , différente de zéro, ce qui est 

 contraire à l'hypothèse. 



» Cette remarque me conduit à examiner le cas où il existe un nombre p, 

 compris entre zéro et i, tel que le produit «'"'V.,, tende vers une limite; 

 je dis que la série sera convergente chaque fois que celle limite ne sera pas 

 nulle. En effet, l'égalité précédente équivaut à celle-ci 



» Soit lim/i' ^V-,; = /«. L'expression que nous élevons à la puissance n'' 

 tend vers -,;, et par conséquent devient, à partir d'une certaine valeur 



de n, inférieure à un nombre a, compris entre i et — ^' Dès ce moment, les 

 termes de la série sont inférieurs à ceux de la série suivante 



(A) «"^ d"^'"', '..., a'"-^'"', ..., 



dont on augmentera encore les termes en remplaçant/; par l'inverse d'un 



nombre entier q, supérieur à -, et tout revient à démontrer que la série (A), 



modifiée de la sorte, est convergente. A cet effet, observons que, à partir 

 d'un rang déterminé, nous pourrons grouper les termes de telle sorte que, 

 dans le premier terme de chaque groupe, l'exposant de a soit un nombre 

 entier. Les groupes successifs se présenteront alors comme il suit : 



Lfc , Cfc , • • • , . . . , te- , 



