( % ) 



eL la somme des termes du groujîe commençant par a' sera inférieure à 



[(/•+ I )*-/•'/]«'■. 

 « Mais les séries 



/■ = A- i=k 



sont convergentes, puisque, dans cliacune d'elles, le rapport d'un terme 

 au précédent a pour limite a. Donc, il en est de même de la série (A), et 

 aussi de la série donnée. 



« 2. La démonstration précédente subsiste alors même que «'■~''(x„ tend 

 vers r infini positif, pour une certaine valeur de p, positive et inférieure 

 à I , ou pour diverses valeurs Aq p comprises entre ces limites. C'est ce qui 

 arrive, par exemple, si l'on a 



log/( I log/i'' 



k désignant un nombre compris entre zéro et i. On voit d'abord (jue a„ 



tend vers zéro quand n croît indéfiniment, jiarce que la fonction — ^— 



tend vers zéro quand x croît au delà de toute limite. Mais, si l'on fait 

 /; = 1 — k, on trouve 



/;'-''a„ =: log/l, 



et l'on en conclut que la série 



est convergente. Si l'on avait X:= i, la série serait divergente, comme nous 

 allons le démontrer. Mais, tout d'abord, nous justifierons le choix de cet 

 exemple en montrant que nous sommes bien dans un cas où il est impos- 

 sible de trouver un nombre p, satisfaisant aux conditions énoncées. En 

 effet, pour toute valeur positive de p. 



l'-p 



ioii II I lo a: «'■"+''-' 



y-n = 



lk+,,-\ /._(_„_, /jA+p-l 



» Il est donc bien vrai que, dans l'exemple actuel, n'~Py.,^ tend vers 

 zéro pour toute valeur de p comprise entre zéro et i . 



)) Quant à la divergence de la série, il suffit de la démontrer dans l'hy- 



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