( '07 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales des équations différentielles 

 du premier ordre, possédant un nombre limité de valeurs. Noie de M. P. 

 Painlevé, présentée par M. Emile Picard. 



« Soit une équation du premier ordre 



(0 y = Mv,(.r)|= ^:;::;;;:^ , 



où les coefficients A, B dépendent algébriquement de x. Si l'intégrale gé- 

 nérale ne prend qu'un nombre limité n de valeurs autour des points cri- 

 tiques mobiles, on |ieut lui donner la forme 



(2) 



avec la condition 



les a, p, M, N, P s'exprimanl rationnellement en fonction des coefficients 

 A, B. Si on la résout par rapporta la constante C qui entre au premierde- 

 gré dans y, l'équation (2) devient 



(3) C = ^i^l^, 



F et G étant de degré n en y. 



» Nous supposons la relation (3) irréductible; autrement dit, C ayant 

 une valeur arbitraire, si x parcourt le plan des x sans tourner autour des 

 points critiques fixes, les n valeurs de y déterminées par (3) se permutent 

 toutes entre elles. Il n'y aura d'exception que p|)ur des valeurs particu- 

 lières de (1 : parmi ces valeurs, nous appellerons valeurs remarquables 

 celles pour lesquelles plusieurs déterminations de y coïncident quel que 

 soit X. Soient (pour une valeur remarquable c) y., fi, .... les degrés de 

 multiplicité des X racines distinctes -.y = a, (a;), y == a.i(x), ..., y = 0.1(00). 

 Si V désigne le plus grand des nombres ^ et r -1- 2, k le nombre des valeurs 

 remarquables c, , c.,, . . ., c^, on a \ 



1 = 1^ ,=/ 



V = 2« - 2 ('•. - ') + (P,- - l) + . . . 4- (S, - l) = 2 )., -+- «(2 - k). 

 ( = 1 1 = 1 



C. R., 1892, 1" Scniesire. (T. CXIV, N- 3.) '5 



