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» D'autre part, y — ff, (.r) entre en tacteur à la puissance (c - i ) clans 

 le premier membre de i'équation 



fia. — o 



dy •' dy 



)> Si donc a, est plus grand que i, a{x) est algébrique : pour C = c, 

 y(ir) est lui-même algébrique ainsi que toutes les fonctions y {ce) déter- 

 minées par (3). Il suit de là que si L'intégrale est transcendante, il ne saurait 

 exister plus de deux i^aleurs remarquables de C. 



» Quand le nombre des valeurs remarquables est moindre que 2, n est 

 inférieur à v. S'il en existe deux, on a v = >,, +I2; d'où la possibilité 

 d'écrire l'intégrale ainsi : 



(4) c = a{x) \y - a, (:r)]'. [j - a, (^)]S ... [y - «.(■r)]'«; 



les i sont des entiers (positifs ou négatifs) premiers entre eux. Si n dé- 

 passe 2v — I, la forme (4) est unique, et les fonctions ay {x), ainsi que les 

 nombres i, sont déterminées algébriquement; a(x) dépend d'une qua- 

 drature. 



» Nous arrivons ainsi à ce théorème ; On peut toujours reconnaître si 

 l'intégrale d'une équation (i) est une fonction transcendante qui ne prend 

 qu'un nombre fini (non donné') de valeurs autour des points critiques mobiles 

 et l'équation se ramène alors algébriquement à une équation de Riccati. Il y a 

 toutefois un cas exceptionnel où l'on détermine y en fonction algébrique 

 de Y (x), Y satisfaisant à une équation 



sans qu'on sache distinguer si y est une fonction transcendante ou algé- 

 brique de X. Mais l'éqaation (i) se trouve alors intégrée par une qua- 

 drature. 



» Le théorème précédent subsiste (sans cas exceptionnel) si les coeffi- 

 cients de (i) sont des fonctions transcendantes de x, qui s'expriment 

 algébriquement à l'aide d'une même fonction u (x). Il convient pourtant 

 de mettre à part les équations où u(x) et sa dérivée satisfont à une rela- 

 tion algébrique : ces équations se ramènent immédiatement à avoir leurs 

 coefficients algébriques. 



» La recherche des intégrales algébriques est plus compliquée. Quand 

 on sait que le nombre R des valeurs remarquables est moindre que 3, les 



