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)) Permettez-moi de vous communiquer une démonstration bien simple 

 des résultats de M. Poincaré et de résultats analogues, qui concernent 

 la distribution des nombres premiers de la forme L\n + 3 et plus géné- 

 ralement de la forme kn + l, k étant premier avec /. 



» Je prends pour point de départ les valeurs approximatives de cer- 

 taines sommes, qu'on trouve dans le Mémoire de M. Mertens : Ein Bei- 

 trag zur analytischen Zahlenlfieorie, inséré dans le tome 78 du Journal de 

 Crelle, en 1874- 



» La formule (21) de ce Mémoire donne la relation 



(•) y^-p = '-H^^^^'+^-^^ 



où la somme s'étend à tous les nombres premiers de la forme [\n -\- i infé- 

 rieurs à œ, A est une constante déterminée et la valeur de 9 est comprise 

 entre — i et -f- i . 



» Afin de pouvoir tirer parti de la formule (i), il faut avoir une rela- 

 tion entre la somme (i)et le nombre des nombres premiers de la forme 

 [\n + I inférieurs à x, que je désignerai par P(^). Cette relation est don- 

 née par la formule 



qui est un cas particulier d'une formule générale, que je me permettrai de 

 démontrer en quelques mots. 



» Étant donnée une suite (/j) de nombres croissants 



{p) /'i' P^^ /^:.' •■•' Pn 



et F(a7) désignant le nombre des nombres de la suite (/?) inférieurs à a-, 

 on a la relation 



(3) 





où/(x) est une fonction continue quelconque et la somme s'étend à tous 

 les nombres de la suite (p) inférieurs à œ. 



» En effet, supposons j? contenu entre les limites ,o„ et/9,i^n, et parla- 



