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geons l'intégrale en plusieurs autres comme il suit 



- r¥(x)dj{x)=- r"Y{x)df{x)- rY{x)df{x)-... 



- f''"l\x)df{x) - f\{x) df{x) 



= -Âp'.)+âpô-^/(p.)+^./(p^-)---- 



-{n- i)/(Pn-ô + {n - i)/(pn)~- n/(x)-hn/(p„) 



= y,/(p')-F{^)/(^). 

 p> 



» Il est clair que cette relation subsiste lorsque x atteint l'une des va- 

 leurs comprises dans la suite ( p)- 



» La formule (3) donne une équation différentielle; en l'intégrant, 

 on trouve la relation suivante dont j'aurai besoin 



(4) "(.■)= ->^+_/;i;/«j4i-!*. 



" ih 

 » Remarquant que — "— est plus jjetit que i, les deux formules (i) 

 et (2) donnent la relation 



» Partageons l'intégrale en deux autres, l'une prise entre les limites de 

 3 à x^ et l'autre àe x^-a x;\d première intégrale étant indépendante de x, 

 on aura 



(5) X.'K>-^-]^ = ^'°»''°«*'*'^' 



où a?o est un nombre quelconque plus petit que ic, C est une constante dé- 

 terminée pour chaque valeur de x^ et la valeur de £ est comprise entre 

 — 1 et H- I . 



» Cette relation montre que, quelle que soit la valeur de x, on pourra 

 toujours attribuer à x une valeur assez grande pour que l'intégrale (5) 

 soit positive, si a <C\ et négative, si a ]> i . 



» Le second théorème de M. Poincaré est ainsi démontré; quant au pre- 



