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 « courbe algébrique réelle dont la torsion soil constante. Il serait inté- 

 » ressantd'examiner si toutes les courbes à torsion constante sont transcen- 

 » dantes, ou s'il y en a d'algébriques de déterminer les plus simples. » 



» Je me propose de résoudre le problème ainsi posé, en déterminant une 

 courbe particulière qui me paraît être la plus simple de celles qui répon- 

 dent à la question. 



La forme générale des équations des courbes à torsion constante rap- 

 portées à trois axes rectangulaires est 



X 



(0 y 



où h, k, /sont trois fonctions arbitraires d'une même variable 0. 

 » Posons 



h = k cos>^9 -f- coSjuO, 



iî: = B sin^O ^- sinu.9, 



(2) 



l =z C sin — - 



2 



le rapport - étant commensurable; et déterminons A, B, C de façon : i" que 

 A^ + i- -h /'- soit constant, et 2^ que les trois expressions, telles que 



,dk j dl 



soient linéaires et homogènes par rapport aux sinus et cosinus des mul- 

 tiples de 6, c'est-à-dire que les termes constants disparaissent. Alors les 

 expressions de x, y, z seront des fonctions entières des sinus et cosinus 

 des multiples entiers d'un même arc, et la courbe sera algébrique. 



» La première condition donne B — — A, C^— 4A; la seconde, tou- 

 jours remplie pour y et z, donne, pour x, [j. = k^'k. Nous supposerons 

 donc, dans les équations (2), que l'on ait 



B=: -A, (;=- 2v'Â, [A = A-X. 



)) Si l'on change A en -^ en permutant X et [j., on voit que h, k, l sont 



divisés par ± A, j ne change pas, x ei z changent seulement de signe, et 

 l'on retrouve la même courbe. 



