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un nombre fini tl'opérations arithmétiques. Myis, clans ce cas, le problème 

 peut être formulé en ces ternies : 



» Calculer, par des opérations arithmétù/ues, le nombre des sohuions réelles 

 différentes du système (i) qui dipnnent un signe comrnu à chacune des fonc- 

 tions rationnelles et entières données 



gi,{x^, ..., x„){k = I, ...,m). 



» Or cette nouvelle question est facile à résoudre. Eu effet, si l'on se 

 borne au cas où le système (i) n'a qu'un nombre fini de solutions, on sait 

 qu on peut, par un procédé d'éliminatiou, déterminer une fonction ration- 

 nelle et entière de x\, ...,x,^, = = R(a.',, . . ., x-„), telles que toutes les 

 solutions du système (i) sont données par des expressions 



x,~hi(z) (i —\, .. .,n), 



où R,(:;) désignent des fonctions rationnelles et entières de z, et que :; 

 parcourt toutes les racines réelles d'une certaine équation algébrique 

 V(^) = o quand jt,, . . ., cc„ parcourent toutes les solutions réelles du sys- 

 tème (i). Les valeurs des fonctions g;^(x,, . . .,x^), pour ces solutions, 

 sont données par des fonctioiis rationnelles et entières en :;. Nous avons 

 donc réduit le problème jiropasé à cet autre : 



» Déterminer par des opérations arithmétiques le nombre des solutions 

 réelles différentes d'une équatioi\, algébrique 



(2) 



chacune des fonctions rationnelles et entières 



qui donnent un signe convenu à 

 données G;i-(s) (/c = i , . . .,m). 



)> Exécutons l'algorithme di Sturm en partant des fonctions F(c) et 



ur valeurs à substituera = — co et s ^-i- co. 

 Le nombre des variations perdkies donnera la différence entre le nombre 

 de racines réelles différentes de l'équation (2) pour lesquelles G(3) est 

 positif et le nombre de celles paur lesquelles cette fonction a une valeur 

 négative. S'il y a des racine: pour lesquelles G (s) est nul, elles ne 

 comptent pas du tout. Nous désignerons le nombre ainsi obtenu par [G]. 

 Il est superflu d'insister sur l'identité qui a lieu entre ce symbole et la ca- 

 ractéristique du système — À^ ■■■</") 



définie par Kronecker, dans le cas où le système (1) n'a pas de solutions 

 multiples. 



■H'/i, • • -.//, telle qu'elle a été 



