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» Si a,, . . ., a,„ désignent l'unité positive ou négative, et que nous em- 

 ployions le symbole (a, , .. . , a,,,) pour désigner le nombre des racines réelles 

 différentes de l'équation (2) qui donnent, pour X: ^ i ,..., a«, à G^(s) le 

 signe de y.;;, on obtient facilement cette formule 



{ . + a,,a2,...,a,„[G,,G.,..., G„], 



où les sommes doivent être étendues à toutes les combinaisons d'un, de 

 deux différents, de trois différents, etc. des indices i, ...,m. En efïet, on a 

 évidemment | 



où il faut étendre les sommes aux 2'" termes* obtenus en faisant 



0.'^ — ± i (k — i, ...,m). 



Multipliant ces équations par i, y.), 7.>a.|j. et faisant la somme, il est 



visible qu'on obtient la formule (3). 



» En effet, on aura pour coefficient de (a,, . . . ,x„J 



I 4- V a), y.', H- ^ a-, x^,x', a,; + , . . = JJ ( 1 + ax a-; ). 



» Avant de finir, il convient d'indiquer en deux mots l'algorithme 

 pour calculer le symbole [G] auquel conduit une méthode très connue 

 ^" de M. Hermite. Désignant par v le degré de l'équation (2), et par a toutes 

 les racmes de cette équation, la forme quadratique à v indéterminées 



(4) lG(a){a;^-n^-,a -h . . . + Ji\^,a'~' )- 



contiendra évidemment, si on la met sous la forme d'un agrégat de 

 carrés réels, un cai-ré positif ou négatif poar chaque racine réelle qui rend 

 G(rt) positif ou négatif, et deux carrés, dont l'un est positif et l'autre né- 

 gatif, pour chaque couple de racines imaf;inaires conjuguées. Par consé- 

 quent, le symbole [G] est égal à la différence entre le nombre des carrés 

 positifs et celui des carrés négatifs. Pour exécuter le calcul, on écrira, 



avec M. Hermite, au lieu de la forme (à), S'G(a)^^^ ^^^ , en conve- 



nant de restituer dans le résultat zyz■^^ au lieu de :''' z"'\ Remarquant 



