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 de la forme 



A,(/,) + B,(/,) = (;,(/„) + n,(/0. 



et si, de plus, les argumenls (,, t^, t^, (^ sont lié.^ par deux équations seu- 

 lement, dont chacune contient trois arguments au moins, notre surface, 

 qui sera aussi représentée par les équations 



peut être engendrée de quatre manières différentes par na mouvement de 

 translation de certaines courbes. 



» Je nie suis proposé le problème généi-al de trouver toutes les surfaces 

 courbes qui peuvent être engendrées de quatre manières différentes par la trans- 

 lation de certaines courbes. 



)) En ternies plus précis, je cherche à déterminer les fonctions A, B. C 

 et D de telle sorte que les équations 



Aa-(^) + B,(?,) = Ca(/3) + D,U,,). 

 X- = I , 2, 3 



donnent entre les arguments ;,, t.,, t,, t^ deuK relations seulement, cha- 

 cune d'elles contenant au moins trois arguments. J'exclus le cas trivial où 

 la dernière des équations fonctionnelles dépend linéairement des deux 

 premières. 



M On trouve toutes les solutions de ce problème en prenant une 

 équation F (a, P) = o du quatrième ordre irréductible ou réductible, formant 

 ensuite les expressions 



et posant enfin 



A,(oc) = B,(x) = - C,(a ) = - D,(a) = cp,(oc). 



» Qu'on obtienne de cette manière des solutions, c'est une consé- 

 quence à peu prés immédiate du théorème d'Abel appliqué aux points d'inter- 

 section d'une courbe du quatrième ordre avec une droite. Au contraire, 

 qu'on obtienne de cette manière toutes les solutions de mon problème, c'est une 

 vérité assez cachée dont je dois la découverte à un heureux hasard. 



» Je suis parvenu à démontrer pour n dimensions un théorème ana- 

 logue que voici : 



