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» Il est digne de remarque que la démonstration de mou théorème géné- 

 ral devienne assez facile aussitôt que p surpasse 4- En effet, en utilisant 

 avec M. Weber sa courbe normale de genre p qui s'introduit au reste 

 forcément dans mon analyse, et en profitant de la détermination exacte de 

 M. Nother du nombre des surfaces du second ordre contenant une telle 

 courbe normale, le seul point un peu difficile dans mes développements 

 consiste dans la découverte d'un théorème général, qu'on pourra, pour le 

 cas de ^ = 5, formuler de la manière suivante : 



» Si, dans un espace à quatre dimensions, huit courbes données coupent 

 chaque plan à trois dimensions en huit points situés sur trois surfaces à deux 

 dimensions du second ordre, linéairement indépendantes, les courbes données 

 dans l'espace à quatre dimensions sont des branches de la courbe d'intersec- 

 tion de trois surfaces à trois dimensions du second ordre. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales des équations du premier ordre 

 qui n admettent qu'un nombre fini de valeurs. Note de M. Paul Painlevê, 

 présentée par M. Picard. 



« Soit 



une équation du premier ordre dont le premier membre est un polynôme 

 irréductible en y' , y et une fonction algébrique de x. Si l'intégrale géné- 

 rale ne prend qu'un nombre fini n de valeurs autour des points critiques 

 mobiles, trois cas peuvent se présenter : i° le genre ni de la relation entre 

 les constantes intégrales est plus grand que i (l'équation s'intègre alors 

 algébriquement) ; 2° ra est égal à i ; 3° ra est nul. Ces deux derniers cas sont 

 les seuls où l'intégrale puisse être transcendante. 



» Pour plus de clarté, bien que cette restriction ne soit pas indispen- 

 sable, nous supposons que l'équation F = o en y' n'admet pas de racines 

 multiples d'ordre supérieur à 2, si ce n'est pour des valeurs isolées de 

 x,y : autrement dit, soit D[y, (x)^ le discriminant obtenu en éliminant j'' 



entre F := o et -r— , = o; siy(x') satisfait à l'équation D =0, l'équation (i) 



n'admet que des racines doubles, sauf pour des valeurs particulières de x. 

 Etant donnée une équation (i) quelconque, on peut toujours la ramener algé- 

 briquement à une forme où cette condition soit remplie. Enfin il nous est 



loisible de remplacer dans (r)y par -^ — -, > a, b, c, d étant des fonctions 



