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algébriques quelconques de v. Après cette transformation, P^ renferme j à 

 la puissance v, P, à la puissance v — a, . . ., P„ à la puissance v — an. 



» Ceci posé, plaçons-nous d'abord dans l'hypothèse w = o. L'intégrale 

 se laisse alors définir par une équation /[C, y, (j:)] = o, où y est un poly- 

 nôme en C et j' de degré p, en C et de degré n en y, ou encore par l'équa- 

 tion 'p[y, yi, (ce)] = o, où ep est un polynôme en y et -n et une fonction algé- 

 brique de X et où y désigne une fonction de .r qui satisfait à une équation 

 de Riccati. En raisonnant comme dans ma Communication précédente 

 (voir les Comptes rendus du i8 janvier), on Aoitque, si 1 intégrale est trans- 

 cendante, il ne saurait exister plus de deux valeurs remarquables c de C, 

 c'est-à-dire plus de deux valeurs pour lesquelles y" = o admette des racines 

 multiples j'(ir) quel que soit ce. 



» D'autre part, soient a,, p,, . . ., ^, les degrés de multiplicité des /, ra- 

 cines distinctes y(;r) qui correspondent à une des k valeurs remarquables 

 c, de C, et soit r le nombre de racines distinctes y(x) de {'intégrale singu- 

 lière d\y,{x)\ = o. Nous montrons qu'on a 



'=* i=* 



(2) v-/-=2«- 2(a,-i) + (^,-l)-^...-t-(S,-l) = «(o_;t)+ 2^- 

 '=' ,=1 



M Celte égalité fournit une limite supérieure de n si k est inférieur à 2. 

 Si ^ = 2, /, -f- 4 est égal à v — r : nous pouvons toujours admettre que c, 

 et Co sont o et oc; or considérons la fonction C[j', (a:)] ='-/\y',y, {x)\ 

 définie par / := o, et posons 



(3) '^-^=k[y',y,{x)]\dy-y'dx^; 



A est une fonction algébrique à [j. valeurs de y et n'admet, pour x quel- 

 conque, que(v — r) infinis du premier ordre; A vérifie donc une équation 

 algébrique de degré \j. en A et de degré (v — r) en j'. 



» S'il existe deux telles fonctions A et A', pour lesquelles le second 



membre de (3) soit une différentielle totale, -^1 = const. est l'intégrale 



de (i) : d'où une limite supérieure de n. Si toutes ces fonctions A ne dif- 

 fèrent que par un facteur constant, on forme algébriquement une expres- 

 sion 



gSa[jc) dx ^^^ ^ a?) {dy —y dx) 



qui est une différentielle totale; l'équation (1) se trouve ainsi intégrée par 

 quadratures. 



