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» Plaçons-nous maintenant dans l'hypothèse ct = i . L'intégrale se laisse 

 définir par une relation/[C,_v, (x)] — o de degré '\j. en C et de degré in 

 en y, ou encore par une relation o(y, y, (a?)] = o, algébrique en x, de 

 degré p. en C et de degré n en y, oii y est égal à sn[t'(a:)+ h\. On 

 voit aisément qu'il ne peut exister une seule valeur remarquable de C sans 

 que sn[p(a;)] ne soit algébrique en x. Si l'intégrale est transcendante, on 

 a donc v — /• — l^n, et l'on ramène algébriquement l'équation (i) à une 



équation de la forme . '^ = & (^) dx, oii k désigne une con- 



v/(i— f )(r — A-^f ) 

 stante. 



» Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante : 



» Étant donnée une équalion ( i ) quelconque, on peut toujours reconnaître 

 si son intégrale est une fonction Iranscendante qui ne prend qu'un nombre 

 fini, non donné, de valeur autour des points critiques mobiles (et l'on ramène 

 alors l'équation à une équation de liiccati), ou bien on intégre l'équation par 

 des quadratures. Le mot quadrature doit être pris ici dans son sens le plus 

 étendu : les quadratures à effectuer portent, suivant les cas, sur des diffé- 

 rentielles ordinaires ou des différentielles totales; ajoutons que la mé- 

 thode s'étend aux équations (i)dont les coefficients dépendent algébrique- 

 ment de la même fonction transcendante uÇx). 



)) Le but que je m'étais proposé quand j'ai commencé à étudier les 

 équations du premier ordre est donc atteint : on sait ramener algébrique- 

 ment aux transcendantes définies par les quadratures ou par l'équation de 

 Riccati Us transcendantes, n'admettant dans le plan qu'un nombre fini de 

 valeurs qui intègrent une équation quelconque du premier ordre. 



» 11 reste à examiner le cas où l'intégrale de (i) est algébrique. On peut 

 effectuer alors sur a? et y la transformation homographique la plus géné- 

 rale. Comme je l'ai montré antérieurement (voir les Comptes rendus, 

 mai 1891), dans l'hypothèse nj = i, on forme algébriquement une intégrale 

 de première espèce, attachée à la surface F = o qui, égalée à une constante, 

 définit l'intégrale de (i). Dans l'hypothèse ct = o, il convient de suivre la 

 marche que j'ai indiquée dans ma dernière Communication pour les équa- 

 tions du premier degré, en ne tenant compte que des points critiques 

 mobiles. Les points singuliers de l'équation (1) sont alors : 1° les points 

 communs à toutes les courbes P,(y, j?) = o, s'il en existe; 2" les points 

 (isolés) de la courbe, lieu des points de rebroussement des intégrales pour 



lesquels -T \- ^ y' est nul. A ces différents points correspondent, comme 



