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)i J'ai d'abord trouvé le théorème suiAant : 

 » Considérons m 4- i équations de la forme 



(i) tV, = A/,-,(/,)-^. ..-h A/„„(/,„) (^k = \,,..,m+ \) 



désignons ensuite les déterminants d'ordre le plus élevé de la matrice 



par A|, A„, . . , A,„+, et supposons enfin que ces déterminants ne sa- 



dku 



dti 

 tisfassent à aucune équation linéaire 



C , A I -r- . . . + C,„ ^ I A,„ ^ I ^ O , 



à coefficients constants. Alors, pour que la relation Î2(t',, ..., t',„^_,) = o, qu'on 

 obtient par l'élimination des paramètres t^, . . ., /,„ soit algébrique, il faut et 

 il suffit que deux quantités quelconques A^^ et kji soient toujours liées par 

 une relation algébrique. Si, au contraire, les quantités A, satisfont à 

 q <^7n+ i équations indépendantes et linéaires à coefficients constants, 

 on réduit immédiatement le système donné (i) à un système plus simple 



v'^ = '&^(s,) + ...+ B^„,_/i,„_y) (X- = I , . . . , m — f/ + I ) 



entre m — q ^ i quantités v'f. de la forme 



»'a = «4i (', + ... -h «'/,,,„+, r,„+., , 



les df^j désignant des constantes. Pour que ce système réduit soit algé- 

 brique, il faut et il suffit que deux quantités quelconques B;;, et By, soient 

 liées par une relation algébrique. 



M Quand les A/,, (/,) sont des intégrales abéliennes, ce théorème coïncide 

 avec un résultat déduit par M. Kœuigsberger de la généralisation d'un 

 théorème d'Abel. 



» Le théorème ci-dessus admet des généralisations remarquables. Je me 

 borne aux remarques suivantes. 



» Je prends un groupe continu et transitif dont les transformations sont 

 algébriques et permutables. J'obtiens, par exemple, de tels groupes 



( 2) *A (/, • ■ -Yp) = *a(^ï^< • • • -î'//) -^ t, {k = l ... p), 



comme le montre le tliéoi ème d'Abel, en posant 



0)/, {x, Vj,) = Of,{x, ; -h ... H- ?a(-^/.) , 



o,(a;), ...,(fj,(cc) désignant des intégrales abéliennes convenablement choi- 

 sies. M. Picard a obtenu d'autres groupes essentiellement nouveaux par 

 l'inversion des intégrales totales de différentielles algébriques; on peut 



