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4n-t- I, qui ont été démontrés par M. Victor Stanievitch, dans une Note 

 publiée au Compte rendu de la séance du i8 janvier 1892. 



» De nion côté, j'ai présenté à l'Académie des Sciences de Stockholm, 

 le i4 octobre 1891, une Note Sur le logarithme intégral de la fonction fixe 

 de Riemann, où je démontre un théorème général dont vos résultats sont 

 des cas très particuliers. 



» Dans cette Note se trouve, en eifet, à la page 600, le théorème 

 suivant : 



» Soit o(.r) une fonction réelle de la variable réelle x, et x une constante 

 primitive, et supposons que l'intégrale 



(i) / ç(a;),;r""'~V/.r 



soit convergente pour les vaœurs de s dont la partie réelle est supérieure à 

 l'unité, et quelle soit égale, dans le voisinage de s = î , à une série procédant 

 suiiunt les puissances positives de (5 — i) et convergente dans un cercle dont 

 le rayon est plus grand que l'unité; si x^^ et S sont deux quantités positives 

 choisies à volonté, aucune des deux inégalités 



(2) ©(a;)>8, o(x)<C — ^ 



ne pourra subsister pour toutes les râleurs de x supérieures à ar,,. 



» Je laisse de côté une addition qui se trouve ajoutée à cet énoncé dans 

 ma Note citée, et je me propose ici de donner une généralisation de mon 

 théorème dans une autre direction, généralisation qui se présente d'ailleurs 

 immédiatement à l'esprit. 



» Eu effet, si l'on sait cjue l'intégrale (1) satisfait à la même condition 

 de convergence que plus haut, et que, dans le voisinage de 5 = 1 , elle est 

 égale à une série à la Tavlor 



icfs-i)", 



convergente pour un rayon plus grand que ain^ i), on démontre qu'au- 

 cune des deux inégalités 



(3) o(^)>^ar'-^ o(ar)<- Jî.-c'-" 



ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de x plus grandes qu'une 

 valeur arbitraire. 



» En effet, si o(x) ne change pas de signe à partir de x z:- x^'^i, 013 

 voit facilement, et j'en ai donné la démonstration détaillée dans ma Nc(e 



