( 339 ) 

 citée, qiierintégrale 



j 'p(a;)a;-^(log.r)"rf^- 



converge et est égale à 



sgno(x). l/zjc„|. 



On a donc tous les éléments qui figurent dans les signes comme étant 

 positifs : 



» Cette dernière intégrale a donc une valeur unie, ce qui ne pourrait 

 être si l'une des inégalités (3) avait lieu dans tout l'intervalle de l'inté- 

 gration. 



» Il est facile de voir que cette remarque simple suffit pour démontrer 

 que toutes les valeurs asympfotiques de fonctions numériques indiquées 

 par Gauss et Dirichlet sont justes dans le sens que M. Tchebycheff a for- 

 mulé le premier et que vous avez adopté dans votre Note du i^ dé- 

 cembre 1891. 



)) En effet, il est facile de voir que le raisonnement par lequel Dirichlet 

 démontre qu'une fonction o(p) devient infinie pour p = o, de manière que 

 ûi3(p) converge vers une Aaleur finie c, implique, dans tous les cas, l'exis- 

 tence d'un développement à la Taylor pour p<p(o), valable au voisinage de 

 p = o. Je puis renvoyer, à ce sujet, à une Note de M. J.-L.-W. Jensen 

 (Comptes rendus,'t. CIV, p. 1 156), où cette pensée se trouve réalisée dans 

 un cas particulier. D'ailleurs, il semble que Dirichlet lui-même ait été 

 conscient de ce fait. Du moins on pourrait interpréter dans ce sens une 

 remarque que vous trouverez dans son grand Mémoire : Recherches sur 

 diverses applications de l'Analyse infinitésimale à la Théorie des nombres, au 

 bas de la page 417 *le ses Œuvres, t. I. 



» Il est superflu, je pense, de répéter ici comment les questions des va- 

 leurs asymptotiques se réduisent, par cette remarque, à dépendre du théo- 

 rème que je viens de démontrer. 



» De même, je ne vous fatiguerai pas en énumérant des exemples des 

 résultats auxquels on parvient de cette manière. Envoie! un seulement. 



» Si p est un nombre premier de la forme 4« -t- 3 et, de plus, un déter- 

 minant régulier (Gauss, Disq., etc., art. 306), et que h désigne le nombre 

 de formes quadratiques différentes ayant — p pour déterminant, les dé- 

 veloppements donnes par Dirichlet, dans la Note Ueber eine Eigenschaft 



