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» 2. Roulemenl de la surface (S) d'un solide sur un plan. — Supposons 

 que le solide soit animé de la rotation instanfanée £2 dont la direction ren- 

 contre le plan tangent xOy en un point A infiniment voisin de O. Cette 

 rotation se décompose en deux autres, l'une Q,^ parallèle à O-, et l'autre o 

 dans le plan xOy et dont AB est la direction. La première composante ne 

 produira, dans le temps dt que des déplacements du second ordre des 

 points de (S) infiniment voisins de O, les seuls qu'on ait à considérer, et 

 l'on peut, par suite, en faire abstraction; la seconde aura pour effet de ra- 

 battre sur xOy le plan tangent en m entraînant (S) avec lui; il y aura rou- 

 lement et l'on aura 



(,J dl = , .• 



p cos-i 



» La direction de la droite AB est arbitraire, excepté dans le cas où (S) 

 est une surface développable : car, alors, cette droite doit être une géné- 

 ratrice de la surface; on a /„ = o et, en même temps, So = o, puisque la 



section normale suivant ABestprincipale. L'équation (4) donne tangj = -, 



ce qui devait être, et, en désignant par R le rayon de courbure de la sec- 

 tion principale dont la trace est OK, la formule ci-dessus devient 



, 2<r/a 



o>dt=-^. 



» Si la surface (S) est à courbures opposées, et siOj'est une des asym- 

 ptotes de l'indicatrice, les droites OL AB doivent se confondre avec cette 

 asymptote : c'est ce qui résulte d'ailleurs de l'équation (4) en y faisant 

 / = o. Il faut alors remonter à l'équation (3) qui donne, en y faisant 



o = ^ = x, 



e = s„Y = co dt. 



» 3. Roulement de la sur/ace (S) sur une autre surface (S'). — Les deux 

 surfaces sont tangentes en O. Soit m' le point de (S') où le plan tangent 

 rencontre xOy suivant AB. On a, en accentuant les lettres, 



(6') ' ''^' 



p cos- 1 

 par suite 



(?) i^dt = -ida( -■±— — ^1 



^ ' -^ \p cos-i p' cos-' l J 



