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» Je résume d'abord brièvement les axiomes II, III et IV de la Note de 

 M. von Helmholtz. 



» M. von Helmholtz cherche à déterminer tous les groupes continus en 

 les variables ce, y, z, pour lesquels deux points ont un invariant et un seul. 

 Il suppose, de plus, la liberté du mouvement quand un ou deux points 

 sont fixes. Enfin il demande qu'un corps tournant autour de deux points 

 fixes puisse reprendre sa position initiale sans changement de sens du 

 mouvement (Umkehr). 



» Un tel groupe contient, d'après mes principes généraux, six trans- 

 formations infinitésimales qu'on pourra supposer développables suivant 

 les puissances de ir,j', z. On peut même choisir ces transformations, de 

 telle manière que ces développements soient de la forme 



p-h. ■., q+ r + ..., 



! (^=1,2,3), 



aux termes d'ordre supérieur près. 



» Maintenant les transformations linéaires infinitésimales 



p, (j, r, {a^x 4- b^y + Ci,z)p + {d^x + e^y -^fh^)q + (h^x + 4/ + m^z)r{l), 



obtenues en supprimant les termes d'ordre supérieur, forment aussi un 

 groupe, groupe linéaire qui joue un assez grand rôle dans mes recher- 

 ches. Ce nouveau groupe Y a certaines propriétés communes avec le groupe G, 

 mais ces deux groupes se distinguent évidemment par d'autres propriétés 

 non communes. 



» Il n'est donc nullement permis, comme le font MM. von Helmholtz et 

 Rilling, d'admettre sans démonstration que deux points ont le même nombre 

 d^ invariants par rapport aux groupes G et Y .W est même facile de se con- 

 vaincre que ces deux nombres ne coïncident pas toujours. Prenons, par 

 exemple, le groupe 



y, xq -+- r, x^q ■+■ ixr, x^q -+■ 3,r^/-, p, xp — zr\ 



dans ce cas, deux points n'ont pas d'invariant; au contraire, pour le 

 groupe linéaire correspondant, q, r, xr,p, xp — zr, deux points ont l'in- 

 variant jj — J). Considérons, d'autre part, le groupe 



q, xq + r, x^'q -h ixr, x^q -+- 'ix'^r, x''q -^ k^^''^ P' 



et l'invariant M/ii^Me o-j — x, de deux points: pour le groupe linéaire cor- 



