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respondant, deux points ont deux invariants différents, y^ — y ^ çVx.^ ■— Xy . 

 » Le travail de M. Helmholtz contient encore deux fautes analogues ('). 

 D'abord on ne peut admettre que si le groupe G comporte la liberté du 

 mouvement, il en soit nécessairement de même pour le groupe linéaire F. 

 En effet, pour le groupe 



q, p, .vq + i\ x'^q + ixr, xp -i-yq -h \r, x-p -h sxyq -{- (a\x -\- 2y)r, 



s'il y a liberté du mouvement; or cela n'a pas lieu pour le groupe linéaire 

 correspondant, qui ne contient que cinq transformations infinitésimales. 

 » Enfin, M. von lielmholtz se trompe en admettant que son axiome de 

 monodromie est rempli en même temps pour un groupe G et pour le 

 groupe linéaire F. Cela résulte bien clairement de l'exemple très instructif 

 du groupe suivant : 



I q, xp + yq ■+- r, (.r' — y')p -+- 2xyq -h 2xr, 

 I p, yp — xq, 2xyp -h (y- — x'')q -h lyr. 



)) Pour ce groupe, l'axiome de monodromie est rempli, car un corps 

 tournant autour de deux points fixes reprend sa position initiale sans 

 retournement; au contraire, pour le groupe linéaire correspondant, 

 l'axiome de monodromie n'est pas rempli. J'ajoute que pour le groupe (D) 

 tous les axiomes de M. Helmholtz sont remplis pour des points qui ont 

 l'un par rapporta l'autre une position générale. 



)) Les remarques précédentes montrent d'une manière décisive que les 

 développements de M. von Helmholtz, quoique très intéressants, contien- 

 nent néanmoins àe.^ fautes irréparables. 



» Il est possible, je m'empresse de le dire, d'interpréter ses axiomes 

 d'une telle manière que son résultat reste juste, du moins pour l'espace 

 ordinaire. Or cela montre seulement qu'il est quelquefois plus facile 

 d'énoncer un théorème exact que de le démontrer. La théorie des groupes 

 continus, quoique nouvelle, en présente déjà beaucoup d'exemples. » 



(') Des trois fautes dont nous parlons, M. Killing ne commet que la première. 

 Mais il me semble que cet auteur commet d'autres fautes essentielles. D'autre part, il 

 ne remarque pas qu'un certain « Gbilde », dont il parle (p. i6i), pourra se réduire 

 à un point ; d'aulre part, il admet, sans démonstration e\acte, que le groupe 

 linéaire r contienne des transformations infinitésimales qui changent seulement deux 

 variables. 



On peut ajouter que l'auteur emploie la notion « systatique « d'une manière 

 Inexacte. 



