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 » Cloordoiinées des foyers F,, F^, : 



F„ 



■rX, 



z, = -(:^ 



^, vi, ^ élanl trois solutions d'une équation de M. Moutard. Ces trois quan- 

 tités sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la droite D de la con- 

 gruence. Enfin les développables de la congruence sont les surfaces 

 u = coiist., V = const. 



» Déterminons un point M dont les coordonnées a?, , y,, s, sont déter- 

 minées par les formules 



yd\ 



du 



de or 



du 

 dz, 

 dv 



■çàr^ 

 ^du 



■r d', 



dl 



' du 

 d'^ 



» Le point M décrit une surface rapportée à ses lignes asymptotiques. 

 La normale en M est parallèle à D; enfin si l'on fait tourner de 90° autour 

 de l'origine la projection de M sur le plan des xy on obtient le point C. 

 D'où la construction géométrique suivante des coiigruences H' : 



» On prend une surface quelconque S, on projette un point M de cette sur- 

 face sur un plan fixe P ; on fait tourner cette projection m de 90" autour d'un 

 point fixe O de P. Par le point ainsi obtenu, on mène une droite D parallèle à 

 la normale en j\L Quand l\I décrit S, D décrit une congruence II'. 



» Les normales aux plans focaux de H' ont leurs cosinus directeurs pro- 

 portionnels aux mineurs des matrices 



c'est-à-dire 



du 



fi 



dr, 

 du 



dx\ dy, dzt à.r, dr, dzi 

 du du du ' di' dv dv ' 



n Donc : 



» Les plans focaux de H' sont perpendiculaires aux tangentes asymptotiques 

 de S. 



)) Si S est une surface uiinima, H' est une congruence de normales. On 

 retrouve ainsi les surfaces qui ont été découvertes par M. Bonnet (sur- 

 faces dont la somme des rayons de courbure principaux est le double de 

 la normale). 



