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» On vérifiera facilement les résultats suivants : 



» Si S est une surface à courbure totale constante, les développables 

 de H' touchent les surfaces focales suivant leurs lignes de courbure. 



» Si S est une surface réglée, l'une des surfaces focales de H' est une 

 développable. Aux génératrices de cette développable correspondent, sur 

 la seconde surface focale, des paraboles. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — De l'existence des intégrales dans un système 

 diff'érentiel quelconque. Note de M. Riquier, présentée par M. Darboux. 



« Dans un Mémoire publié en \^q,o {Annales de V École Normale supé- 

 rieure), MM. Méray et Riquier ont étudié certains systèmes linéaires du 

 premier ordre impliquant un nombre quelconque de fonctions inconnues 

 et de variables indépendantes, et ont prouvé la convergence des dévelop- 

 pements de leurs intégrales. Dans une thèse publiée en 189T, et par une 

 méthode toute semblable, M. Bourlet a étendu les mêmes conclusions à 

 un nouveau type linéaire, et il a fait voir, en outre, que tout système dif- 

 férentiel est réductible à un pareil type, complètement intègrable ou non. 

 Avant que j'eusse connaissance de la thèse de M. Bourlet, avant même 

 qu'elle fût publiée, j'étais en possession d'une forme beaucoup plus géné- 

 rale (celle que je définis ci-après sous le nom d'harmonique), et j'ai pu 

 dernièrement effectuer la réduction d'un système quelconque à un système 

 complètement intègrable, d'ordre égal ou supérieur à i , et présentant, avec 

 certaines particularités, la forme entière par rapport aux dérivées des fonc- 

 tions inconnues (les particularités dont il s'agit sont de nature telle, que, 

 lorsque le système est du premier ordre, il est en même temps linéaire). 



» Faisons correspondre à chacune des variables indépendantes x,y, .... 

 et à chacune des fonctions inconnues u, i>, . . . engagées dans un système 

 différentiel quelconque, p entiers positifs, nuls ou négatifs, que nous nom- 

 merons respectivement cote première, cote seconde, . ., cote p""^^ de cette 

 quantité; puis, nommons cote q'""^ (q = i, 1 p) d'une dérivée quel- 

 conque l'entier obtenu en ajoutant à la cote q'''"'^ de la fonction inconnue 

 les cotes homologues de toutes les variables de différentiation, distinctes 

 ou non. Cela étant, le système différentiel proposé sera dit harmonique si, 

 moyennant un choix convenable du nombre p et des cotes attribuées à 

 X, Y u, V, .... il remplit à la fois les conditions suivantes : 1° cha- 

 cune des équations du svstème a pour premier membre une dérivée de 



