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 quelque fonction inconnue, et les seconds membres de ces mêmes équa- 

 tions sont olotropes dans quelque système de cercles. 2° Les diverses dé- 

 rivées qui figurent dans le second membre d'une équation quelconque ont 

 des ordres au plus égaux à celui du premier membre correspondant; si 



l'on désigne, en outre, par r,, c,, Cp les cotes du premier membre, et 



P'T c\'''':, f^'p celles d'une dérivée d'ordre égal figurant dans le second, 



les dii'férences r, — c\. c., — r',, . . .. c^— c'^ ne sont pas toutes nulles, et la 

 première d'entre elles qui ne s'évanouit pas est positive. 3" Aucun des 

 premiers membres ni aucune de leurs dérivées ne figurent dans le second 

 membre d'une équation donnée quelle qu'elle soit. 



» Parmi les systèmes harmoniques, les seuls qu'il importe de considérer 

 sont les systèmes complètement intégrahles, nous voulons dire ceux dont les ' 

 seconds membres satisfont à cerlaines identités, qu'il nous est impossible 

 d'indiquer ici, faute d'espace. 



» Si, dans un système harmonique complètement intégrable, les seconds 

 membres sont entiers par rapport aux dérivées de u, v, . . . , et si, dans 

 chaque second membre, la somme des ordres des facteurs dont se compose 

 un terme quelconque est au plus égale à l'ordre du premier membre cor- 

 respondant, le système en question sera dit canonique. 



» Cela posé : 



» Tout système harmonique complètement intégrable admet un groupe 

 d'intégrales, et un seul, répondant à des conditions initiales données. 



)) Étant donné un système différentiel dont les seconds membres sont nuls, 

 et les premiers olotropes dans un système de cercles, on peut, dans les circon- 

 stances générales, et sauf la rencontre de relations finies impossibles, ramener 

 son intégration à celle d'un système harmonique complètement intégrable im- 

 pliquant, avec les mêmes variables, certaines des fonctions inconnues du pro- 

 posé; quant aux fonctions inconnues restantes, elles sont exprimables, par des 

 formules finies, à l'aide des premières et des variables indépendantes. (Il va 

 sans dire que ces deux groupes de formules, dont l'ensemble équivaut 

 au système proposé, peuvent éventuellement se réduire à un seul.) 



» Enfin, l'intégration d'un système harmonique complètement intégrable 

 d'ordre quelconque se ramène à celle d'un système canonique d'ordre égal. 



» Dès lors, étant donné un système différentiel dont les seconds membres 

 sont nuls, et les premiers olotropes dans un système de cercles : ou bien ce sys- 

 tème n'admet aucune solution; ou bien sa solution ne dépend d'aucun élément 

 arbitraire; ou. bien enfin son intégration se ramène à celle d'un système cano- 

 nique. 



