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ÉLECTRICITÉ . — Application de la théorie des lignes de force à la démonstration 

 d'un théorème d'électrostatique. Noie de M. L. de la Rive. 



« Si dans le champ d'un système de conducteurs électrisés on leur substitue 

 une ou plusieurs surfaces de niveau entourant respectivement les masses agis- 

 santes, avec une densité superficielle égale à — rz 7^' ^e champ en dehors de 



ces surfaces reste le même, et le potentiel à l'intérieur est constant et égal à la 

 valeur qu il prend dans le champ sur ces surfaces mêmes. 



» Ce théorème important est démontré dans les Leçons sur la théorie 

 mathématique de V électricité, de M. Bertrand ('), comme une conséquence 

 des propriétés générales du potentiel et du théorème de Green. Deux dé- 

 monstrations analytiques directes ont été données, l'une par Chasles (^), 

 l'autre par Sir W. Thomson ('). 



)) Dans la première, on donne aux surfaces de niveau infiniment voisines 



une densité k ^^ où k est une constante, puis, en tenant compte delà 

 constance du produit ds f- pour des éléments correspondants, on dé- 

 montre par une intégration relative à la surface de niveau que le potentiel 

 en un point extérieur, dû à chaque couche, est proportionnel à la masse 

 totale de la couche. 



» Pour un point intérieur, le rapport du potentiel à la masse de la 

 couche est constant. On en conclut que, pour un point extérieur, les sur- 

 faces de niveau des masses agissantes sont aussi celles des couches, et 

 que, pour un point intérieur, le potentiel est constant. 



M Dans la seconde, on intègre par parties deux fois successivement, re- 

 lativement aux coordonnées rectangulaires, la différentielle - Aodxdydz, 



r étant la distance de l'élément de volume à un point P et ç le potentiel 

 du champ. L'intégration est étendue au volume compris entre la surface 

 de niveau S et une surface de niveau S' infiniment éloignée, et, l'intégrale 



(')J. Bertrand, Leçons st/r la théorie mathématique de l'Électricité, n" 31, 

 p. 42-44- 

 ('^) Connaissance des Temps pour i845 (1842). 

 (3) Cambridge math. J.. i84a-i843. 



