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 étant nulle, puisque ce volume ne contient pas de masse agissante, on ob- 

 tient une équation entre des intégrales de surface relatives à S et S', et le 

 potentiel du champ en P multiplié par une intégrale angulaire. Suivant 

 que le point est extérieur ou intérieur, le potentiel est celui d'une couche 



de densité — -, r- sur S, ou bien est constant. 



LiTz an 



» La démonstration suivante est une forme différente donnée à celle de 

 Sir W. Thomson, en rapportant le champ à la ligne de force, ce qui sim- 

 plifie l'intégration. 



» Soit ç le potentiel en un point quelconque d'un champ dû à un cer- 

 tain nombre de conducteurs électrisés C, el S une surface de niveau en- 

 tourant les masses agissantes. Considérons les tubes de force du champ 

 définis chacun par une ligne de force axiale n allant de la surface d'un 

 conducteur à celle d'un autre conducteur ou à la surface S. Pour les pre- 

 miers, laissons le sens positif de n indéterminé et pour les seconds faisons 

 croître n de la surface du conducteur vers S et au delà vers S', surface de 

 niveau infiniment éloignée. 



» Soit en premier lieu P un point extérieur à S. Prenons l'intégrale 



/ 



."(â"^) 



(in 



dn. 



où r est la distance du centre de la section dS du tube de force au point P, 

 pour tous les tubes compris entre C et S, Cette intégrale est nulle puisque 

 le flux est constant dans tout ce volume et l'on trouve, pour un tube quel- 

 conque, en intégrant par parties, 



I d'i j i da j r d'u j 



o = r- "S, j^ dS, — I ~i- dS cosî, 



/•; dn /•, dn J r- 



expression dans laquelle cosj est le cosinus de Fangle du rayon vecteur 

 dirigé de dS vers P avec la normale à l'élément dS. Si cet angle est plus 



petit que -. il faut intégrer en se rapprochant de P et — ^i^-- est égal à r/<.j, 



angle solide élémentaire sous-tendu par dS ; changeons le signe de la diffé- 

 rentielle et convenons d'intégrer en s'éloignant de P. Si l'angle est plus 



grand que -» il faut intégrer en s'éloignant de P et, d'autre part, — - — est 



égal à — f/oj. Ou a donc, dans les deux cas, — dr^da &oi\s le signe somme. 

 » Effectuant l'intégration pour tous les tubes, une partie des termes r/S^ 



c. R., 1892, i" Semestre. (T. CXIV, N" 13.) 9*^ 



