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Systèmes de surfaces se correspondant : 

 Par représentation spliérique. Par inversion. Par transformation de Ribaucour. 



S S, S S' s s, 



S' i: S, s; s, s 



s; s. s Q, S' Q 



Q Q, s, Q s; Q. 



» Par conséquent, de tout couple de systèmes de surfaces ayant même 

 représentation sphérique, on peut déduire trois autres couples jouissant de 

 la même propriété, ainsi que quatre couples se correspondant par inversion 

 et quatre par la transformation de Ribaucour. 



» On voit facilement que les formules (i) et (2) subsistent quand, au 

 lieu de systèmes triples orthogonaux, on considère des surfaces ayant 

 même représentation sphérique de leurs lignes de courbure; on obtient 

 d'une façon analogue huit surfaces qui se correspondent deux à deux. Mais 

 ici, la transformation de Ribaucour prend une signification géométrique 

 simple : les deux surfaces transformées l'une de l'autre sont les deux nappes 

 d'une enveloppe de sphère sur lesquelles les lignes de courbure se correspondent. 

 On peut ainsi retrouver beaucoup de résultats connus relatifs aux enve- 

 loppes de sphère, aux systèmes cycliques, etc. 



» Nous nous sommes placé jusqu'ici diins le cas de l'espace à trois di- 

 mensions, mais rien ne serait changé dans le cas de l'espace à n dimen- 

 sions; remarquons encore que toutes les formules subsistent quand les 

 deux surfaces avant même représentation sphérique sont deux plans paral- 

 lèles; on peut alors en déduire le théorème (bien évident du reste par 

 d'autres méthodes) : Si l'on connaît deux systèmes plans orthogonaux ayant 

 leurs tangentes parallèles aux points correspondants, on peut en déduire par 

 une quadrature une surface rapportée à ses lignes de courbure, et celui-ci, qui 

 se rattache à une proposition de M. Darboux : Si l'on connaît dans l'es- 

 pace à n dimensions deux systèmes orthogonaux ayant même représentation 

 sphérique, on peut en déduire, dans l'espace à (/i + 1) dimensions, une surface 

 à lignes de courbure coordonnées. 



» On peut donner de nombreuses applications de cette transformation 

 et des huit surfaces; d'autre part, il serait intéressant de rapprocher ces 

 huit surfaces des douze surfaces de M. Darboux ; c'est ce que nous espérons 

 développer prochainement. « 



