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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la réduction d'un problème algébrique. 

 Note de M. J. Ptaszycki, présentée par M. Appell. 



« Dans les Comptes rendus dn 5 naars 1894, M. Goursat a montré que la 

 solution d'une question intéressante dn calcul intégral (pour plus de 

 détails t'Oj'r Appell et Goursat, Théorie des fonctions algébriques) se ramène 

 au problème qui peut être énoncé comme il suit : 



') Etant donnés sur une courbe algébrique F(a7, j') = o, de genre », 217 

 points (^') 



existe-t-il une fonction rationnelle '^(^x,y) et un nombre entier positif /n 

 tels que 9 reste partout finie et différente de zéro, sauf aux points (a, b) 

 qui soient des zéros d'ordre m et aux points (x, p) qui soient des pôles 

 d'ordre m? C'est sur ce problème que je vais présenter quelques ré- 

 flexions. 



» Rappelons-nous qu'en cherchant à résoudre le problème énoncé, on 



pourrait procéder par des essais en supposant successivement m^i , 2, 



Or, si l'on voulait appliquer ce procédé sans y apporter de perfectionne- 

 ments convenables, on aurait à refaire toutes les opérations pour chaque 

 nouvelle valeur de m et, en même temps, l'ordre de la fonction examinée 

 augmenterait de plus en plus. Cet inconvénient, poiu- la plus simple sup- 

 position concernant les points donnés, fut levé par Abel, au moyen des 

 tractions continues, pour le cas de j' égal à la racine carrée d'un polynôme, 

 et par Tchebychef pour celui de la racine cubique (OEui'res, t. I, Mé- 

 moire 24). Dans la Note présente, je me propose d'indiquer sommairement 

 comment on peut étendre ces résultats particuliers au cas général du 

 problème. 



" Considérons d'abord la suite 



oîi <h„^(x,y) désigne une fonction rationnelle (quelconque) du plus petit 

 ordre possible admettant, entre autres, q points (a, b) comme zéros 



(') Si l'on veut, le nombre 7 peut, être supposé Sp. Quant aux points (a, b) il n'est 

 pas nécessaire de les supposer distincts; il en est de même' des points (a, îl). 



