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d'ordre m el q points (a, (3) comme pôles d'ordre m. Il est évident que si 

 le problème posé a une solution îp, cette fonction ç se trouvera nécessai- 

 rement parmi les termes de la suite; on en conclut que le problème en 

 question peut être ramené à la recherche des fonctions ■]!. 



» Cela posé, nous allons montrer que celte recherche, à son tour, peut 

 être remplacée par celle de fonctions plus simples. 



» Soit 9, (œ, y) une fonction rationnelle (quelconque) du plus petit 

 ordre possible admettant q points (a, b) comme zéros simples et q points 

 (a, p) comme pôles simples et soient respectivement (c\, d[), (câ, d'„), ... 

 ^t (y'i' "^i )' (ï'^' "^a)' • • • '^s zéros et les pôles simples supplémentaires de 

 cette fonction (') ; soit, de même, Oj une fonction rationnelle du plus petit 

 ordre possible admettant les points (a, b) et (y', S') comme zéros simples 

 et les points («, p) et (c', d') comme pôles simples et soient (c\, d\ ), ... 

 et (y,',^',), ••• les zéros et les pôles simples supplémentaires de cette 

 fonction; soit O, une fonction du plus petit ordre possible admettant les 

 zéros simples (a, b) et (y", l") et les pôles simples (od, (3) et (c", d"); .... 

 On a ainsi une suite de fonctions 



qui jouissent de propriétés importantes. 



)) L'ordre de la fonction est tout au plus égal au nombre fixe q -+- ip. 

 A l'aide des fonctions 6, par la formule 



"]',«= 9)62- --^m. 



on peut calculer toutes les fonctions iL et en particulier la fonction 9, si 

 elle existe. En même temps, nous avons la proposition suivante analogue 

 à celle d'Abel sur la périodicité de la fraction continue : 



» Pour que le problème énoncé ait une solution 9, il faut et il suffit que 

 la suite 



e,, 0, 



puisse être supposée périodique. 



» Remarque. — Je ne m'occuperai pas ici du procédé propre à faciliter la 



(') Le nombre des zéros supplémentaires, ainsi que celui des pôles, ne surpasse 

 pas p. Il peut se faire que quelques-uns des points (c', d') et (y', 0') viennent se con- 

 fondre respectivement avec des points (a, fl) et («, b); cette circonstance ne nuira 

 pas à notre but, quoique la fonction trouvée ne satisfera pas, à proprement parler, à 

 toutes les conditions requises. 



