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 déterminalion des fonctions 6; en tout cas, on voit bien qu'elles s'obtien- 

 dront par des opérations connues; je ne m'arrêterai pas non plus au cas 

 assez général où le problème lui-même peut être simplifié, ni à celui plus 

 particulier où l'on a des résultats proches de ceux d'Abel. Je ferai seule- 

 ment remarquer qu'il est quelquefois préférable de modifier l'idée de la 

 réduction exposée. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Détermination d'invariants attachés au 

 groupe G, 68 de M. Klein. Note de M. A. Boulanger, présentée par 

 M. Appel I. 



« L'intégration algébrique des équations différentielles linéaires et ho- 

 mogènes du troisième ordre (E) à coefficients rationnels et des sys- 

 tèmes (S) 



/•= a^p -T- a.,q + a^: 



s = h^p ^- h.^q + b^z \ (Notations de Monge) 



t — c^p + c^q + c^z I 



dont l'intégrale dépend linéairement de trois constantes arbitraires et 

 dont les coefficients sont rationnels en x,y, peut être regardée comme 

 une question parfaitement résolue, une fois calculés, pour chaque groupe 

 discontinu fini de transformations homographiques, quatre invariants dif- 

 férentiels fondamentaux, I, J, M, N, analogues à l'invariant schwarzien. 

 Ces invariants, signalés par M. Painlevé (^Comptes rendus, 1887), sont 

 définis par les relations 



^y à- u Of d'-v du 



dx- dx dx^ dx 

 ., ^ -7 d^a ôv d^ V du f d"^ u dv d^ i> du 



dx- dy dx- dy "ydxdy dx dxdy ax 

 Où 



du dv dv du 



dx dy dx dy 



et où u, (' sont les variables de la transformation, x, y les fonctions fonda- 

 mentales invariantes attachées au groupe considéré. J et N se déduisent 

 de 1 et de M en permutant à la fois («, ^') et (a?, y). Les quatre fonctions 

 I, J, M, N, considérées comme fonctions de u et v, sont rationnelles en 

 (m, r) et invariantes par les substitutions du groupe; ce sont, par suite, 



