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 écrivant que cette sphère est C on aura 



ce qui montre que la surface A est isothermique; il est clair que la réci- 

 proque est exacte. 



» L'équation (i) étant une équation à invariants égaux la sphère point A 

 est C d'une infinité de manières. 



» Prenons un cercle O harmonique à la sphère A ; la sphère A étant I, ce 

 cercle sera 2I. Inversement, prenons un cercle O, 2I; il y a deux sphères I 

 qui lui sont harmoniques, ce sont les pôles du cercle. Ces sphères sont 

 nécessairement C puisqu'elles sont harmoniques à un cercle O. Les deux 

 pôles de ce cercle décrivent donc des surfaces isothermiques. Il en résulte 

 que si une sphère est O, 2I, les deux points où elle touche son enveloppe 

 sont des surfaces isothermiques. [Ces sphères ont été signalées par 

 M. Darboux, Note Sur les surfaces isotherrniques (Comptes rendus, i*'' se- 

 mestre 1899).] Parmi les cercles harmoniques à une sphère C il y en a ^c^ 

 qui sont O; comme la sphère A est C d'une infinité de manières, il y aura 

 00' cercles O; on déduit donc d'une surface isothermique A ce" nouvelles 

 surfaces A' isothermiques; A et A' sont les points où une sphère O, 2I 

 touche son enveloppe. On a ainsi une transformation des surfaces isother- 

 miques que j'ai signalée [Sur le problême de M. Bonnet {Comptes rendus, 

 2* semestre 1897)] et que je vais développer. 



» Soient M le centre d'une sphère O, 2 1 ; A et A' les points où cette sphère 

 touche son enveloppe, le réseau M sera, en général, C, 2O ; soit m le réseau 

 applicable sur M; prenons la sphère correspondi\nte de centre m, elle 

 devra passer par un point fixe a puisque la sphère (M) est O; si l'on fait 

 rouler {m) sur (M), la droite ma viendra coïncider avec MA ou MA' ; donc : 

 » S?' l'on considère un réseau C, 2O, ily a, en général, deux réseaux paral- 

 lèles tels que l'une des congruences de normales qui leur sont conjuguées passent 

 par un point fixe a ; soient m l'unde ces réseaux, M le réseau applicable; si ion 

 fait rouler m sur M, la droite ma vient occuper la position MA ; le point A et 

 son symétrique A' par rapport au plan tangent en M décrii'ent des sur/aces iso- 

 thermiques normales à MA et MA'. 



» L'application aux quadriques de révolution est immédiate. Tout ré- 

 seau (m) d'une quadrique de révolution est 2O, les congruences de nor- 

 males conjuguées sont les droites mf, m/' qui joignent le point m aux 

 foyers; soient ç et ç' les symétriques de /et/' par rapport au plan tangent 

 en m: si l'on déforme la quadrique, les points/, /', ©, ©'viennent en F, F', 



