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•I", ^' ; ces derniers points décrivent des surfaces isotlurniifjiies; les sur- 

 faces F et $' ont la même normale; donc ces surfaces isolhermiques ont 

 leur courbure moyenne constante : c'est le premier théorème énoncé dans 

 ma Note dn 23 janvier 1899. 



)) Prenons un cercle O, 2T qui a pour pôles A, A'; ce cercle étant O est 

 normal à une infinité de surfaces; soit N l'une d'elles. La sphère-point N 

 est I, 2O et l'on obtient ainsi co' sphères I, 2O conjuguées au cercle O, 2I. 

 Le réseau N est, en général, 2C, c'est-à-dire applicable sur un réseau de 

 l'espace à quatre dimensions; pour que la sphère N soit 2O, il faut de plus 

 que ce réseau de l'espace à quatre dimensions soit situé sur une sphère de 

 rayon nul. Oa en déduit aisément la propriété caractéristique des sur- 

 faces (N) : 



» // existe une surface (N') ayant même image sphérique de ses lignes de 

 courbure que la surface (N) et telle que si R, e/ R, sont les rayons de courbure 

 principaux de (ISf), R', et R!, les rayons correspondants de (N'), on ait 



RiRIh-R.R; = const., 



la constante n'étant pas nulle. 



» D'après la théorie générale, il y a co- cercles O, 2I conjugués à cette 

 sphère (^N); ces cercles passent par le point N; leurs pôles A, A' décrivent 

 des surfaces isothermiques: ces pôles A, A' sont situés sur les tangentes 

 isotropes à la surface N. 



» En regardant les choses de plus près, on voit que cette double infinité 

 se décompose en deux séries simplement infinies; sur la première tangente 

 isotrope à la surface N il y a oo' points A qui décrivent des surfaces isother- 

 miques, 00' points A' sur la seconde, et, pour former un couple AA', on 

 peut associer un point quelconque de la première série à un point quel- 

 conque de la seconde. Les points de chaque série se déterminent à l'aide 

 d'une équation de Riccati. Il en résulte que, si l'on connaît un couple AA' 

 appartenant à une surface (N), on peut déterminer tous les autres à l'aide 

 de quadratures. 



» Si l'on connaît une surface (N) et un couple AA' de cette surface, on 

 peut continuer la transformation des surfaces isothermiques en effectuant seule- 

 ment des quadratures. 



» D'abord, il résulte de ce qui précède qu'on peut déterminer par des 

 tpiadratures tous les couples appartenant à la surface (N); soit BB' l'un de 

 ces couples ; B, B' sont les pôles d'un cercle O, 2 1 qui passe par N. Ce cercle 

 est normal à une infinité de surfaces; l'une d'elles N étant connue, toutes 



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