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 les autres se déterminent par des quadratures; soit N' l'une d'elles; on 

 connaît alors un couple BB' appartenant à la surface N'; on pourra donc 

 déterminer tous les autres, et ainsi de suite. 



)> Cette transformation des surfaces isothermiques me paraissant impor- 

 tante, je me propose de la développer analytiquement dans ma prochaine 

 Note. )) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le degré de généralilé d' un système diffé- 

 rentiel quelconque. Note de M. Riquier, présentée par M. Darboux. 



« I. Considérons d'abord un système différentiel, résolu par rapport à 

 certaines des fonctions inconnues ou de leurs dérivées, et dont les seconds 

 membres soient, dans un même domaine, tous développables par la série 

 deTaylor : nous dirons qu'une quantité quelconque, prise dans l'ensemble 

 illimité que forment les inconnues u, t% ... et leurs dérivées de tous 

 ordres, est, par rapport au système considéré, principale on paramétrique, 

 suivant qu'elle coïncide ou non, soit avec quelqu'un des premiers membres, 

 soit avec quelqu'une de leurs dérivées. Des intégrales quelconques d'un 

 pareil système étant supposées développées par la série de Taylor à partir 



de valeurs initiales quelconques, ar^, y„ des variables indépendantes 



oc, y, . . . , les portions de ces développements formées par l'ensemble des 

 termes qui, aux facteurs numériques connus près, ont pour coefficients 

 les valeurs initiales des quantités paramétriques, se nommeront les déter- 

 minations initiales, relatives à a;„, y„, . . . , des intégrales dont il s'agit. On 

 peut d'ailleurs, comme je l'ai établi ('), fixer à l'aide des considérations 

 les plus élémentaires l'économie des fonctions (ou constantes), en nombre 

 fini, dont la connaissance équivaut à celle des déterminations initiales, 



» Aux équations qui composent le système considéré S, adjoignons 

 maintenant toutes celles qui s'en déduisent par de simples différentiations : 

 si le système illimité résultant de cette adjonction possède la propriété 

 capitale d'être successivement résoluble par rapport aux quantités prin- 

 cipales du système S, nous dirons que ce dernier, S, est explicite. En effec- 

 tuant la résolution successive de toutes les manières possibles, on obtient 

 pour chacune des quantités principales un certain nombre d'expressions 

 contenant exclusivement les variables indépendantes et les quantités para- 



(') Voir les Comptes rendus du 3i mai 1898. 



