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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations aux dérivées partielles. 

 Note de M. H. Duport, présentée par M. Appell. 



« Je me propose d'exposer dans cette Note un résumé d'un Mémoire qui 

 paraîtra prochainement dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées. 

 » Je considère le système suivant des deux équations de Pfaff : 



(i) laidxi^o, lbidXi:=o (j = i,2 6), 



où les quantités a, et è, sont des fonctions quelconques des quantités a:,. 



)) Ce système est particulièrement intéressant dans le cas où le nombre 

 des variables arbitraires est de deux, car il constitue un système intermé- 

 diaire entre les équations du premier et du second ordre, et il paraît bien 

 choisi pour s'occuper de la recherche des cas où l'on peut en trouver les 

 solutions à l'aide d'équations ditFérentielles ordinaires. 



» Je pose les équations suivantes : 



I O^a,, -^ [i.hi,) A, -h . . .-h {lOi^^ i).bi^) à^-\- xa^ + p*,-= o, 

 (2) , -«,A, — a„A„ = o 



(« = I,2,...,6). 



l — P|A, — icAp, = 



>i Le déterminant de ces huit équations, où A,. . . ., A,,, k, ^ sont les in- 

 connues, est un déterminant symétrique gauche d'ordre pair qui est, par 

 suite, carré parfait. En écrivant qu'il estnul. on a une équation du second 



degré pour déterminer le rapport -• 



» Quand cette équation a ses racines égales, on peut obtenir les solu- 

 tions du système (i) à l'aide d'équations différentielles ordinaires. 



>) Si l'on remarque que le système (i) est susceptible d'être ramené à 

 une équation du second ordre à une seule fonction inconnue, ce cas est 

 celui où les deux systèmes de caractéristiques sont confondus, et fait 

 espérer que la proposition pourra être vraie dans le cas d'une équation 

 quelconque du second ordre. 



» Je considère maintenant le cas où l'équaiion en - a ses racines dis- 



tinctes. L'une quelconque d'entre elles fournit pour A A,, des ex- 

 pressions de la forme 



A,= A, 4- wB,, 

 où lù est une arbitraire. 



