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 » Je pose les équations 



/■i\ V A <^F V D <^F 



(3) 2A,^=o, :SB,^==o. 



« Quand ces équations ont deux solutions communes F, et F^, on sait 

 que l'équation 



F. = /(F,), 



où /est une fonction arbitraire de son argument, est une intégrale inter- 

 médiaire des équations (i). Mais il y a une proposition plus générale qui 

 est la suivante : lorsque les équations (3) ont une solution commune, on 

 peut exprimer toutes les solutions de ( i) au moyen de deux fonctions arbi- 

 traires de la même variable. 



» Ce résultat paraîtra, je pense, intéressant si l'on considère qu'il ren- 

 ferme, en particulier, l'équation de Laplacc dans le cas le plus général. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'existence des dérivées secondes du potentiel. 

 Note de M. Henrik Petrini, présentée par M. E. Picard. 



« 1. Dérivée seconde. — Soit p une fonction finie et intégrable, et posons 



Y --= p — ) où f/x est l'élément de volume au point (E, r,, () et r la distance 



de cet élément au point (x, y, z). Pour étudier les dérivées secondes de V , 

 nous pourrons nous borner à étendre l'intégrale à une sphère (de rayon a), 



^2 Y . 



décrite autour du point (a-, y, z ) comme centre. La dérivée -y-^ est la limite 

 (|)our h = o) de la quantité A/, définie par la formule 



_i^ Vd M{x + h,Y,z) _ dy{x,y,z) -\ 



'' /i L dh dx y 



En introduisant les coordonnées polaires r, u, i/ par les formules 

 ^ — a7 = 7'cos9, -/i — j = rsinOcosi}, "( — ^ = rsinO sinij>(cosO — a ), 

 nous pourrons mettre la fonction A/, sous la forme suivante : 

 A/, = W/, + \\ + r„, iim T,A = o 



