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en posant 



yV/,---— d\ l (i — 'àu-)du p(r, ;/,i)— , 



t^dt 



^0 ---> '' L(i 2tu^u'y 



, 2 U ,.1 



^ =limP^r --/ d<l p„ 5»'^ J- 3?/ -I - - (r — 3m'') log- 



r-df, 



du. 



en posant p^ = limp(/î/, a, <\i). Si p est continue, p^ sera indépendante de u 



Il —0 



et J/, et l'on trouvera P^= — o'^^Po- En posant W.^ - lim W^, nous aurons 



/l=0 



?— = W +-P 



et deux équations analogues pour y et :;. La condition nécessaire et suffisante 

 pour l'existence de la dérivée -^—^> est donc qu'existe la quantité Vi^, si seule- 

 ment on suppose que les /onctions p et p^ soient finies et intégiables. 



» Remarque. — La quantité P^. jouit de la propriété que l'intégrale 



/ ( Pa;-f- ^-p Wt est égale à zéro pour tout domaine d'intégration. 



» 2. Équation de Poisson modifiée. -- Si les quantités W^., W^, W- 

 existent, elles jouissent de la propriété que leur somme est nulle, d'où 

 résulte la formule 



AV = P., + P, -h P„ 



qui, pour le cas où p est continue, se réduit à l'équation de Poisson 

 AV = — 4^?' Celte dernière formule peut être établie, si p est continue, 

 sans qu'on suppose l'existence des dérivées secondes, seulement en défi- 

 nissant le symbole A de la manière suivante : 



AV = lim (A,, + B,. ^- C,,,), lim ^ ^ o, 



'«IL 



OÙ B;,_ t C,^ ont un sens analogue à celui de A,, . 



