( 3io ) 



m, n, ;;., vêtant des fonctions de x,j, z,p, 5-, r', r, *, f désignant les dérivées 

 secondes. En éliminant r' il vient une équation du second ordre 



Y(x,y, z, p, (], r, s, t) --= o, 



qui, si l'on regarde r, s, t comme des coordonnées cartésiennes, représente 

 une surface rés^lée dont les génératrices a[)partiennent au complexe (G) 

 des droites j)arallèles aux génératrices du cône n — s- = o, c'est-à-dire que 

 l'équation F -^ o admet un système de caractéristiques du premier ordre. 



» La réciproque se démontre aisément en remplaçant l'équation F = o, 

 par deux équations de la firme (I) et eu identifiant avec les équations ré- 

 sultant d'un système (a) : on c-l finalement ramené à intégrer une équa- 

 tion aux dérivées partielles du premier ordre. 



» Un cas particulier intéressant est celui où/, et/., ne dépendent pas 

 des cinq variables {a;, y, -, p, q) mais seulement de trois fonctions g^, g.,, 

 g.j de ces variables. Après une transformation de contact convenable effec- 

 tuée dans l'espace (e') le système (a) s'écrit 



(«^0 



z'=^g,(x,y, z,p, q). 



y=g2(x;,y, z,p, q). 

 ^(x, y, z,p, q, p. q')z-^o. 



» Les droites qui engendrent la surface F -- o rencontrent alors toutes 

 une droite du complexe (G), et chaque fois qu'une équation aux dérivées 

 partielles du scconti ordre satisfait à cette condition, il lui correspond un 

 système (5); g,: §'2» »3 ■''Ont trois intégrales distinctes d'une équation de 

 la forme 



dJt: 



pW^hM 



^57 



- - c 



dp 



d"~^- ^ o. 



dq 



)) Dans des cas éten<his, l'intégration d'une équation aux dérivées par- 

 tielles du second ordre qui admet un système de caractéristiques du pre- 

 mier ordre se ramènera ainsi, dès que l'on connaîtra un certain nombre 

 d'intégrales d'une équation de premier ordre, à l'intégration d'une équa- 

 tion de Monge- Ampère : cela arrivera, en particulier, quand l'une des 

 variables x, y ou z manquera dans l'équation proposée. 



» Lorsque, en outre de la condition énoncée au commencement, le sys- 

 tème (g) fera correspondre à un élément (^x' y' z p' q'), 30' éléments unis 

 (xyzpq), ce système définira deux équations aux dérivées partielles du 

 second ordre dont les intégrales se correspondront uniformément. » 



