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GÉOMÉTRIE. — Sur la (détermination de toutes les surfaces algébriques à 

 double génération circulaire. Noie de M. Eugène Cosserat, présentée par 

 M. Darboux. 



« Les surfaces à double génération circulaire ont été signalées en 1889 

 à l'attention des géomètres par M. Rœnigs, dans une Note bien connue. 

 Les transformées par inversion d'une surface doublement cerclée sont 

 encore de telles surfaces que l'on peut, dans une première énumération, 

 ne pas considérer comme distinctes de la première. Cette remarque, dont 

 l'importance est déjà mise en évidence par la Note de M. Rœnigs, est très 

 utile, ainsi que je vais l'indiquer, dans la recherche de toutes les surfaces 

 considérées. 



» Supposons que l'on cherche à déterminer toutes les surfaces que l'on 

 peut déduire d'une quadrique 



par une transformation 



(i) ?x'.=fi (?■--=!, 2, 3, 4), 



où les y^- sont, comme/, des formes quadratiques de quatre variables a;, , 

 x^, x^. ic,, et telles que les transformées des génératrices de f— o soient 

 des coniques rencontrant toutes en deux points une conique C. 



)) Les procédés habituels aux géomètres synthétiques sont ici d'un grand 

 secours et l'on est alors amené à classer les solutions de la question suivant 

 les différents cas d'intersection de/= o et de la quadrique qui correspond 

 au plan de C. La remarque faite précédemment permet de démontrer que 

 ces différents cas fournissent, soit des solutions générales dont dérivent 

 toutes les autres par l'inversion quadrique, soit des solutions particulières 

 jouissant de la même propriété, soit enfin des solutions particulières qui, 

 par l'inversion quadrique, ne donnent qu'une classe de surflices répondant 

 à la question. 



» Ces trois classes de solutions ayant évidemment chacune leur intérêt, 

 il convient de les examiner séparément. 



)) A l'égard de la première classe, si on laisse de côté les surfaces du 

 quatrième ordre à conique double et si l'on se reporte à la notion des 

 séries composées de MM. Bertini et Segre, on voit facilement que tout 

 revient à déterminer sur une biquadratique gauche générale de première 



