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espèce C des séries linéaires g\ et _^| dont les doubles (') sont respective- 

 ment des séries linéaires gl et g^. Pour ces séries linéaires, j'ai trouvé les 

 suivantes : 



» I" La série linéaire g\ découpée sur C par un faisceau de plans passant 

 par nn point de la courbe; 



» 2" La série linéaire gl découpée sur C par un faisceau de plans; 



)) 3" La série linéaire g\ découpée sin- C par un faisceau de quadriques 

 coupant la courbe en quatre points fixes non situés dans un plan et tels 

 qu'on puisse mener une quadrique tangente en ces quatre points à C. 



» De l'existence de ces séries résultent les propositions suivantes : 



» L Par une droite rencontrant C en deux points, menons deux plans, 

 l'un qui lui est langent en un nouveau point A, l'autre qui la coupe en 

 deux points P, Q ("): si par A on mène deux plans a, p, leurs six points 

 d'intersection, différents de A, avec la courbe C, joints aux points P et Q, 

 déterminent un réseau de quadriques; soit /", =^0 une quadrique de ce 

 réseau ne faisant pas partie du faisceau déterminé par deux quadriques 

 /= o,/j, = o passant par C; siy"^ = o,/., = o sont deux quadriques déter- 

 minées comme f^ o au moyen des mêmes points A, P, Q et de plans 

 appartenant au même faisceau que a. ^, la transformation définie par les 

 formules (i) fera correspondre à la courbe C une conique C et à une 

 droite générale rencontrant C en deux points une conique rencontrant C 

 en deux points; à une surface d'ordre /? /passant par C correspondra en 

 général une surface d'ordre (') 4« — 2, admettant C pour ligne triple. 



» IL Dans le réseau déterminé par les huit points d'intersection de C 

 avec deux plans passant par une droite D, prenons une quadriquey, =r o ne 

 faisant pas partie du faisceau déterminé j)ar deux quadriques/" := 0,/^ = o 

 passant par C; siy^, = o, yT, = o sont deux quadriques déterminées comme 

 /, = o au moyen de la même droite D, la transformation définie par les 

 formules (i) fera correspondre à la courbe C une conique C et à une 

 droite générale rencontrant C en deux points une conique rencontrant C 



{'■) Au sens primitif adopté en 1898 par M. Castelnuovo. 



(*) On n'écarte pas le cas où les deux plans sont confondus, P et Q venant en A, 

 ni celui où P et Q sont simplement confondus; ce dernier conduit, par exemple, aux. 

 transformées homographiques des surfaces du sixième ordre que l'on déduit par in- 

 version des surfaces de Steiner passant par le cercle de l'infini. 



(') Cette évaluation de l'ordre et celles données plus loin sont toujours exactes 

 pourvu que l'on considère dans certains cas la surface transformée comme provenant 

 de la juxtaposition de surfaces identiques. 



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