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» Théorème II. — Toute h„ est de la forme F( j;, T) = o, où, le polynôme 

 à deux arguments F est à coefficients numéiiques qui ne dépendent que de S. 

 T est rationnel. La relation algébrique entre x et T(i) est du genre zéro. 



» Ainsi il n'intervient dans /i„ qu'i<«r? seule fonction T(z) de t. 



» Nommons : i** G„ le sous-groupe de G formé des substitutions qui 

 laissent x^ fixe; 2" S, le sous-groupe correspondant de S. G^ et Sg sont con- 

 stitués par les p puissances d'une substitution unique (A pour G,, ; R pour S,, ). 

 N = np. 



» Toutes les anharmoniques s'obtiendront par le procédé qui va être 

 exposé. 



)) Après avoir choisi le groupe S et, dans ce groupe, la substitution R, 

 on posera l'équation W, de degré N, savoir 



T(0 = T(?), aux N racines Cy (_/' + o, i, . . ., N — i), 



où T(i) est quelconque. On prendra ensuite un des deux nombres yi, qui 

 ne changent pas de valeur par l'effet de la substitution R. Le polynôme, de 

 degré ?^ -- npen r,, 



'f(n„)^-fi) - <];(r,„)cp(7i) 



sera la puissance p'"'"" exacte du polynôme réduit H (•/)), lequel se trouvera 

 ainsi construit. Nommons H' et W les dérivées de H et de W, et n, 



(j^ o, 1 n — i) les «racines du polynôme réduit, toutes distinctes. 



Introduisons l'expression 



'^\-^' "■ ^^ W'(X)\_X-Y nH{X)\ 



« Si 'Ç est une racine de W et -n une racine de H = o, l'expression ^(î^, yi) 

 est un imariant absolu vis-à-vis de toute substitution J^de S, effectuée simulta- 

 nément surX^et T,. Les /?N expressions 



se réduisent à « distinctes, qui sont précisément égales aux n racines de A„. 



)) On pourra écrire .r, = ,f(^, ■/;,). C étant une racine quelconque de W; 

 le choix de cette racine n'influe que sur le numérotage des j-, et des n,-. 

 Les irrationnelles .r, sont mises sous une forme telle que la constance du 

 rapport anharmonique formé avec quatre Xj devient évidente. 



» Éliminons C entre les deux équations iF(C)-=T et x = §ÇC„r,^), 

 -o„ étant une racine quelconque du polynôme réduit. Le résultant, qui est 

 en X du dcgré'^ — np, sera la puissance p'"'"" exacte du polynôme ¥(x, T), 



